colmenas

los animales son inteligentes, y un buen ejemplo de ello son las abejas, que construyen con una exactitud milimétrica sus panales, divididos en celdas de forma hexagonal.

existen solamente tres polígonos regulares con los que se puede llenar una superficie plana sin dejar huecos: el triángulo, el cuadrado y el hexágono. de ellos, el que tiene menor perímetro (es decir, suma de las longitudes de sus lados) para la misma área es el hexágono. se puede demostrar que cuantos más lados tiene un polígono, menor es su perímetro en relación con su área, pero es demasiado complicado para hacerlo aquí.

tal vez el ahorro de material que implica el perímetro mínimo sea la razón de que las abejas elijan la forma hexagonal. aquí tenéis una pequeña muestra de un panal construido por las trabajadoras y eficientes abejas.

el hecho de que sólo se pueda rellenar una superficie con triángulos, cuadrados o hexágonos, intuitivamente es fácil de ver. uno comprueba que con cualquier otro polígono regular no se puede. pero además se puede demostrar.

para ello, lo primero es calcular el ángulo que dejan libre entre sí dos polígonos iguales unidos por uno de sus lados. a ese ángulo lo he llamado α.

estaréis de acuerdo en que ese ángulo α más dos veces el ángulo que forman entre sí los lados del polígono (que lo he llamado β), suman una vuelta completa, es decir, 360º.

α+2β=360. por tanto, α=360–2β.

β hemos dicho que es el ángulo que forman dos lados adyacentes del polígono. veamos cómo calculamos su valor. un polígono de n lados se puede dividir en n triángulos iguales trazando líneas que vayan desde el centro del polígono hasta cada uno de sus vértices.

el ángulo central de estos triángulos será 360 dividido entre el número de lados. la tarta dividida en tantos trozos como lados tenga el polígono, para entendernos. los otros ángulos serán iguales y valdrán justo la mitad del ángulo β que forman dos lados contiguos, que es el que estamos buscando.

por otro lado, se sabe que los tres ángulos de un triángulo suman 180º. se puede demostrar, pero no merece la pena liarse ahora con eso.

360/n+β/2+β/2=180. o bien, 360/n+β=180. luego β=180–360/n.

para un triángulo (3 lados, n=3), β=180–360/3=180–120=60º.

para un cuadrado (n=4), β=180–360/4=180–90= 90º.

para un pentágono (n=5), β=180–360/5=180–72=108º.

para un hexágono (n=6), β=180–360/6=180–60=120º.

y podríamos seguir... ahora sustituimos β en la expresión que habíamos sacado para α.

α=360–2β=360–2·180+2·(360/n)=2·(360/n)

aquí llegamos a la clave de la cuestión. de lo que se trata es de que en el ángulo que dejan entre sí dos polígonos iguales unidos por un lado, quepan uno o varios de esos mismos polígonos. y eso cómo lo vamos a saber? dividiendo el ángulo α (que abarca el hueco que queda libre) entre el ángulo β (que forman los lados del polígono). ese cociente nos da el número de veces que cabe en ese hueco un polígono igual a los otros dos.

así pues, dividimos α entre β.

α/β=2·(360/n) /(180–360/n)

esta fracción se puede simplificar multiplicando el numerador y el denominador por n/360.

α/β=2/(n/2–1)

para el triángulo (n = 3), α/β=2/(3/2–1)=2/(1/2)=4

y efectivamente, vemos que si juntamos dos triángulos por sus lados, en el amplio espacio que queda libre podemos introducir cuatro triángulos más.

para el cuadrado (n=4), α/β=2/(4/2-1)=2/(2–1)=2

así es, entre dos cuadrados unidos por sus lados, caben otros dos cuadrados. en este caso es muy evidente.

para el pentágono (n=5), α/β=2/(5/2–1)=2/(3/2)=4/3=1.33333... no es un número entero, luego no nos vale. si juntáramos dos pentágonos y quisiéramos meter otro en el hueco que queda entre ellos, sobraría espacio, "bailaría".

veamos para el hexágono (n=6). α/β=2/(6/2–1)=2/(3–1)=1

una vez más hemos llegado a lo que sabíamos por intuición. en el hueco entre dos hexágonos unidos por sus lados cabe justo otro hexágono. ni más ni menos. encaja exactamente.

el cociente α/β va tomando valores cada vez menores cuando aumentamos el número de lados n. si para n=6 vale 1, para cualquier otro valor de n de 7 en adelante valdrá menos de 1 (saldrá cero coma algo, para entendernos). eso quiere decir que para polígonos de más de 6 lados, si juntamos dos de ellos por sus lados ya no cabe otro entre medias.

como veis, todas estas cosas las abejas las saben mejor que nadie. :D como colofón, y para recuperaros del sopor provocado por todos estos cálculos y mediciones, os voy a poner un video que va muy a tono con el tema del post. ;)