colmenas



los animales son inteligentes, y un buen ejemplo de ello son las abejas, que construyen con una exactitud milimétrica sus panales, divididos en celdas de forma hexagonal.

existen solamente tres polígonos regulares con los que se puede llenar una superficie plana sin dejar huecos: el triángulo, el cuadrado y el hexágono. de ellos, el que tiene menor perímetro (es decir, suma de las longitudes de sus lados) para la misma área es el hexágono. se puede demostrar que cuantos más lados tiene un polígono, menor es su perímetro en relación con su área, pero es demasiado complicado para hacerlo aquí.

tal vez el ahorro de material que implica el perímetro mínimo sea la razón de que las abejas elijan la forma hexagonal. aquí tenéis una pequeña muestra de un panal construido por las trabajadoras y eficientes abejas.



el hecho de que sólo se pueda rellenar una superficie con triángulos, cuadrados o hexágonos, intuitivamente es fácil de ver. uno comprueba que con cualquier otro polígono regular no se puede. pero además se puede demostrar.

para ello, lo primero es calcular el ángulo que dejan libre entre sí dos polígonos iguales unidos por uno de sus lados. a ese ángulo lo he llamado α.



estaréis de acuerdo en que ese ángulo α más dos veces el ángulo que forman entre sí los lados del polígono (que lo he llamado β), suman una vuelta completa, es decir, 360º.
α+2β=360. por tanto, α=360–2β.

β hemos dicho que es el ángulo que forman dos lados adyacentes del polígono. veamos cómo calculamos su valor. un polígono de n lados se puede dividir en n triángulos iguales trazando líneas que vayan desde el centro del polígono hasta cada uno de sus vértices.



el ángulo central de estos triángulos será 360 dividido entre el número de lados. la tarta dividida en tantos trozos como lados tenga el polígono, para entendernos. los otros ángulos serán iguales y valdrán justo la mitad del ángulo β que forman dos lados contiguos, que es el que estamos buscando.

por otro lado, se sabe que los tres ángulos de un triángulo suman 180º. se puede demostrar, pero no merece la pena liarse ahora con eso.

360/n+β/2+β/2=180. o bien, 360/n+β=180. luego β=180–360/n.
para un triángulo (3 lados, n=3), β=180–360/3=180–120=60º.



para un cuadrado (n=4), β=180–360/4=180–90= 90º.


para un pentágono (n=5), β=180–360/5=180–72=108º.


para un hexágono (n=6), β=180–360/6=180–60=120º.



y podríamos seguir... ahora sustituimos β en la expresión que habíamos sacado para α.
α=360–2β=360–2·180+2·(360/n)=2·(360/n)

aquí llegamos a la clave de la cuestión. de lo que se trata es de que en el ángulo que dejan entre sí dos polígonos iguales unidos por un lado, quepan uno o varios de esos mismos polígonos. y eso cómo lo vamos a saber? dividiendo el ángulo α (que abarca el hueco que queda libre) entre el ángulo β (que forman los lados del polígono). ese cociente nos da el número de veces que cabe en ese hueco un polígono igual a los otros dos.

así pues, dividimos α entre β.
α/β=2·(360/n) /(180–360/n)

esta fracción se puede simplificar multiplicando el numerador y el denominador por n/360.
α/β=2/(n/2–1)

para el triángulo (n = 3), α/β=2/(3/2–1)=2/(1/2)=4
y efectivamente, vemos que si juntamos dos triángulos por sus lados, en el amplio espacio que queda libre podemos introducir cuatro triángulos más.



para el cuadrado (n=4), α/β=2/(4/2-1)=2/(2–1)=2
así es, entre dos cuadrados unidos por sus lados, caben otros dos cuadrados. en este caso es muy evidente.


para el pentágono (n=5), α/β=2/(5/2–1)=2/(3/2)=4/3=1.33333... no es un número entero, luego no nos vale. si juntáramos dos pentágonos y quisiéramos meter otro en el hueco que queda entre ellos, sobraría espacio, "bailaría".

veamos para el hexágono (n=6). α/β=2/(6/2–1)=2/(3–1)=1
una vez más hemos llegado a lo que sabíamos por intuición. en el hueco entre dos hexágonos unidos por sus lados cabe justo otro hexágono. ni más ni menos. encaja exactamente.



el cociente α/β va tomando valores cada vez menores cuando aumentamos el número de lados n. si para n=6 vale 1, para cualquier otro valor de n de 7 en adelante valdrá menos de 1 (saldrá cero coma algo, para entendernos). eso quiere decir que para polígonos de más de 6 lados, si juntamos dos de ellos por sus lados ya no cabe otro entre medias.

como veis, todas estas cosas las abejas las saben mejor que nadie. :D como colofón, y para recuperaros del sopor provocado por todos estos cálculos y mediciones, os voy a poner un video que va muy a tono con el tema del post. ;)

Comentarios

  1. Puffff, Chema. Me perdí en el segundo párrafo... soy de letras, esto no es lo mío.
    Pero chico, tu eres de ciencias puras, es increible cómo eres capaz de ver la matemática en todo. Hasta en las proporciones del tomo de Jana!!!!! Eres increible!!!!!

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  2. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  3. Susana se perdio en el segundo párrafo, yo en el primero, ya estaba hecha un lio.... aaaaainnnssss
    Mira pero del video si que me he enterado, jejeje
    Como se nota que te van las mates eh!!!!
    BSTS

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  4. SEn,cos,tg...Alfa,beta [no sé ponerlo en Ascii,:(..!!].Qué recuerdos de clases en topografía powah, con aquel profe que olía a vinorro a les 9:00 y no ye coña! A ver,complicao no ye,pero pa cabezonas como yo,tengo que miralo varias veces,que son ecuaciones simples,pero da igual.Coincido con el resto,sobretodo en lo de ver Mate en todo,no obstante,la realidad ye así.Esto ye como cuando estás esperando en algún lao y te pones a contar cosas de mil formas,bueno,pues a ti te da por hacer cálculos,jeje.

    Ahora ya sabemos cómo te comiste la tarta de galleta y chocolate del WONKA70!!!!Jajaja :-)

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  5. Pues como que yo también soy de letras y esto me queda grande, jajajajja. Pero recuerdo cuando era pequeña e iba al pueblo, que mi abuelo tenía colmenas y también a la abeja Maya, que la están (o estaban no hace mucho) poniendo por la tele (creo que la 2) a eso de la 1 de la tarde a asín

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  6. Chema, tienes delito, menos mal que te salvas con el vídeo de Maya, por cierto, el título es estupendo "la Lucha de los Pulgones" jajaja
    Bsssssssssssss
    Cloti

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  7. Has dado en hueso conmigo, que soy más torpe que una abeja jajaja.
    Estoy estudiando con mi hijo pequeño los polígonos y poliédros y es a todo lo que llego. Y que conste que es la cuarta primaria que hago. La mía, y la de mis tres hijos. Me deberían dar algún premio o algo por hacer tanta primaria yo solita. ufff

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  8. No, no me lo he leido. Tambien soy de letras. Tas obsesionao!!! Chavaaaaaaaaallll!!!

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  9. Aaaaaaaaggggggg!!! SOS SOS SOS

    Menos mal que estaba el video de la Abeja Maya, porque me estaba ahogando entre tanto oleaje numeril...

    Creo que ya sé quién se vá a encargar de enseñarle geometría y matemáticas a mi niño cuando le toque, jejeje, y yo que andaba preocupada por este tema...

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  10. gracias por vuestros comentarios. :) tienen mérito, en un post tan extraño que me salió. :D

    susana, es verdad, es que las matemáticas están en todo, jajaja. a mí me gustan mucho porque son exactaas, no admiten discusión y no crean polémicas. :D

    sonia, muchas gracias por tus contribuciones. :) esa película tiene pinta de ser divertida, me reí mucho con el trailer. el pdf en el que habla de las abejas es muy educativo y muy riguroso, me ha encantado. en cuanto al misterio de las abejas desaparecidas sin dejar rastro, en algún sitio se habrán ocultado, que las abejas son muy listas. :D

    kira, sí que me gustan mucho las matemáticas, desde que tenía 13 ó 14 años, jejeje. sobre todo las curiosidades y los casos límite raros. :D por cierto, la abeja maya me encantaba de muy pequeño, es casi la primera serie que recuerdo haber visto...

    perín, no lo sabes bien, cuanto estoy nervioso me ponga a mirar las baldosas del suelo o los azulejos de la pared, y a imaginarme cómo se trazarían con regla, escuadra, cartabón y compás (en caso de que tengan arcos), qué ángulos forman las líneas entre sí... hasta en el wonka meto números a veces. :o

    geno, la abeja maya es genial, todos la hemos visto. me acuerdo cuando era pequeño que me llevaron a ponerme una vacuna, y salí llorando porque me daban mucho miedo los pinchazos. una vez en casa, mi madre me puso a ver la tele, y justo empezaban a dar la abeja maya, y me olvidé del disgusto. se me quedó grabado ese recuerdo. :D

    cloti, a mi también me llamó la atención el título de ese capítulo. 'la lucha de los pulgones'?? jajaja. es que la abeja maya era una serie muy educativa, te enseñaban todos los secretos del campo y las flores. :D

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  11. inma, lo de los poliedros sí que es complicado. sólo hay cinco tipos poliedros regulares (es decir, que todas sus caras seran polígonos regulares), y eso se demuestra por una relación que hay entre el número de caras, el número de vértices y el número de aristas, que nunca he llegado a entender. :S por cierto, un gran aplauso por ayudar a tus niños con las mates. :)

    ruth, es comprensible que no te lo hayas leído, jajaja. hay épocas en las que me da por pensar en números y en figuras geométricas. :D es que con tantos alfas y betas asusta, y porque no quise poner senos y cosenos! :P

    elphaba, bien hecho!! el video de la abeja maya es lo que más ha gustado de este post, jajaja. no titulé el post como 'la abeja maya' porque habría sido un título un poco engañoso para un post con tantos números y ángulos. :D

    shirat, las abejas en todo caso son más inteligentes que cualquiera de nosotros, porque todas estas cosas sobre los polígonos se averiguan después de mucho estudio, mientras que las abejas parecen saberlas desde que nacen. :D por ciero, a ver si un día escribo un post sobre la serie de la abeja maya.

    blas, es que me quedó un poco espeso, quería hacerlo más breve, pero luego me lié, jajaja. lo de enseñarle a tu niño, yo encantado! :D la verdad es que las matemáticas a nivel elemental son las más bonitas, y si te gustan y te las han enseñado bien, luego no se olvidan.

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  12. Desde luego, las más bonitas son las de 2+2=4, jajajajaja

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