pi

el número pi (π) es por definición el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. una circunferencia se puede definir como el conjunto de puntos de un mismo plano cuya distancia a cierto punto llamado centro es la misma.

pues bien, del cociente entre la longitud de esa línea cerrada tan perfecta que es la circunferencia y la longitud de su diámetro -la línea que pasa por su centro y que se prolonga hasta tocar a la circunferencia en sus dos puntos opuestos-, se obtiene un misterioso número con infinitas cifras decimales que no forman nunca ninguna pauta que se repita periódicamente. π es igual a 3.14159265359... y muchos más decimales, infinitos más.

π nunca se podrá obtener como una suma de números racionales -es decir, cocientes de números enteros-. no como una suma finita, ojo! sí se puede con una suma infinita que siga una cierta pauta, y eso es lo vamos a tratar de obtener.

lo primero que hay que saber es qué es un radián. los radianes sirven para medir ángulos, son unidades de ángulo. un radián por definición es el ángulo que, teniendo su vértice en el centro de una circunferencia, intercepta un arco cuya longitud es igual a su radio. ese ángulo, en grados, equivale a 57.2957795..., algo menos de 60º para que os hagáis una idea.

necesitamos pasar algunos ángulos de grados a radianes. a cuántos radianes equivale la circunferencia completa, es decir 360º? eso se obtiene haciendo una regla de tres. si un ángulo de 1 radián intercepta un ángulo de longitud igual al radio de la circunferencia (R), cuántos radianes harán falta para que la longitud del arco sea la de la circunferencia completa (2·π·R)? serán 2·π radianes.

nos va a interesar especialmente el ángulo de 45º, veremos por qué. 45º es la mitad del ángulo recto (90º), la cuarta parte del ángulo llano (180º), y la octava parte del ángulo completo (360º). por tanto, si 360º son 2·π radianes, 45º serán la octava parte: π/4 radianes.

vamos ahora con otra cosa que nos vendrá bien saber: la tangente de un ángulo α de un triángulo rectángulo (es decir, un triángulo en el cual uno de sus ángulos sea recto), por definición, es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente a ese ángulo.

para un ángulo de 45º, esa tangente sería 1, puesto que los dos catetos son iguales para ese ángulo. imaginad un cuadrado cortado por su diagonal... el ángulo que se forma es de 45º.

ahora empieza lo bueno. hay una función matemática que se llama arcotangente. por definición, la arcotangente de un número x nos da el ángulo cuya tangente es x.

la derivada de la función arcotangente es una función que aparentemente no tiene nada de geométrico ni de trigonométrico. es un simple cociente de polinomios: 1/(1+x²).

vamos a ver qué pasa si dividimos el numerador y el denominador como lo que es, un simple cociente de polinomios. se obtiene una suma infinita, un polinomio de infinitos términos, que siguen una pauta: los exponentes de la variable x son pares, y se van alternando los signos + y –: un término se suma y el siguiente se resta, y así sucesivamente.

nos gustaría poder expresar la función arcotangente como un polinomio infinito similar al anterior. si 1/(1+x²) es la derivada respecto a x de arctg(x), entonces arctg(x) será la integral -es decir, la inversa de la derivada- de 1/(1+x²).

lo que haremos será hallar la integral del polinomio de infinitos términos que hemos obtenido para 1/(1+x²).  la integral de la suma será la suma de las integrales de cada uno de los términos, con su signo correspondiente.

se observa que en este caso la expresión también sigue una pauta: los exponentes son impares, cada término va dividido por un número que es igual a su exponente, y los signos + y – van alternándose como en el caso anterior.

ésa es la expresión obtenida para arctg(x). veamos qué valor tendría para x=1. sería equivalente a una suma alterna de fracciones muy sencilla: 1–1/3+1/5–1/7+1/9–... es decir, 1 partido por todos los números impares, y alternando los signos: uno sumando, el siguiente restando, y así sucesivamente.

por otro lado, sabemos cuánto vale la arcotangente de 1, es decir el ángulo cuya tangente es 1. ese ángulo es 45º, es decir π/4 radianes. por tanto, podemos igualar π/4 a esa suma de fracciones.

de aquí se puede despejar π, multiplicando por 4 en el otro miembro de la ecuación. por tanto, hemos obtenido una manera de calcular cuánto vale el número π, con toda la aproximación que se quiera, mediante una combinación de números enteros: 4 multiplicado por la suma alternada de 1–1/3+1/5–1/7+1/9–1/11+1/13... y así hasta el infinito.

se puede comprobar que si se van sumando términos de esta serie, cada vez se va aproximando más a π. el problema es que tarda en converger, es decir, hay que sumar muchos términos para que empiece a parecerse un poco al número π que todos conocemos. de manera que, si alguna vez necesitáis calcular la longitud de alguna línea circular, es más práctico que recordéis que π es aproximadamente 3.1416. no os aconsejo que hagáis todo esto. :D una cosa son las curiosidades y otra cosa es la vida práctica. :D