números primos

en matemáticas de 6º ó 7º de egb dimos el tema de los números primos, y aunque en cursos posteriores no se volviera sobre ello, se me quedó muy grabado.

los números primos son aquellos cuyos únicos divisores son la unidad y el propio número. no son múltiplos de ningún otro número entero, más que de 1 y de sí mismos.

los números primos van apareciendo sin seguir ninguna pauta. se puede averiguar cuáles son primos por eliminación: descartando todos aquellos que se puedan obtener como producto de dos o más números enteros.

se puede hacer una tabla de números, por ejemplo del 1 al 100 para empezar por algo sencillo, y tachar todos que no sean primos, es decir, que sean múltiplos de otros números.

múltiplos de 2:
es decir, los pares. el 2 no lo tachamos, porque ése sí es primo según la definición que hemos dado.
4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100.
ya nos hemos “cepillado” la mitad de la tabla. y ahora vamos con los...

múltiplos de 3:
a partir del 3 vamos contando de tres en tres y tachando, exceptuando el propio 3 que es primo. los que son múltiplos de 3 y también de 2, ya estaban tachados en la criba anterior. los que nos “cargamos” esta vez son:
9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, 93, 99.

múltiplos de 4:

los múltiplos de 4 son múltiplos de 2 forzosamente, porque 4 es 2 elevado al cuadrado, 2². son como números pares de segundo grado. por tanto, ya están todos descartados.

múltiplos de 5:
éstos acaban siempre en 0 o en 5. el propio 5 no lo tachamos porque es primo. los que aún no habían caído en cribas anteriores son:
25, 35, 55, 65, 85, 95.

múltiplos de 6:
6 es 2·3, luego los múltiplos de 6 lo son por fuerza de 2 y 3, y por tanto ya están descartados todos.

múltiplos de 7:
empezamos por el 7 y vamos contando de siete en siete, tachando los que no hayamos tachado antes, que ya son pocos. el propio 7 es primo.
49, 77, 91.

múltiplos de 8:

son pares de tercer grado al ser 8 igual a 2 elevado al cubo, o bien 2³.

múltiplos de 9:

ocurre algo análogo, al ser 9 igual a 3 al cuadrado, 3². los múltiplos de 9 son por fuerza múltiplos de 3.

múltiplos de 10:
son múltiplos de 2 y de 5, al ser 10 igual a 2·5.

a partir de aquí ya no hace falta seguir. los múltiplos de 11 menores de 100 (que es el rango que hemos tomado al principio), ya están todos tachados, ya que en ellos el 11 con toda seguridad ha ido multiplicado por otros factores primos menores que sí mismo. 11² es 121, que ya excede de 100.

la tabla quedaría como aquí veis. los números primos entre 1 y 100 son, por tanto:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.


los números se pueden descomponer en un producto de factores primos. esos factores son como ‘piezas’. los números primos tienen la peculiaridad de que son de una pieza, mientras que los no primos están formados por varias piezas pequeñas, o una pequeña y una grande... depende de cada caso.

veamos unos ejemplos...

el 42 se ve claramente que es par, así que empezamos a dividirlo por 2, y nos queda 21. éste ya es impar, luego el 2 ya no nos vale. probamos a dividirlo por el siguiente primo, el 3. 21 entre 3 es 7. hemos llegado a un número primo, que es el 7. ya no podamos seguir dividiendo. luego 42 es 2·3·7.

el 60: es par, empezamos dividiéndolo por 2 y nos da 30. éste también es par, luego lo podemos dividir por 2 otra vez, y nos queda 15. veamos ahora con el 3. 15 entre 3 es 5. hemos llegado a 5, que es primo. ya no podemos seguir. 60 será 2²·3·5.

aquí os pongo los factores primos de todos los números del 1 al 100. se podría hacer lo mismo del 101 al 200, pero ya hemos tenido bastante por hoy. :D se nota mucho que esta semana no se me ocurría nada que contar? ;)