hélices

esta escalera que aquí veis es real, y la he fotografiado yo mismo desde la planta de arriba del edificio donde está, venciendo mi vértigo.

es lo que se llama una escalera de caracol, y es uno de los ejemplos que vienen a la mente con más facilidad cuando se trata de explicar lo que es una hélice, en geometría.

una hélice, para hacernos una idea, es una especie de espiral enrollada sobre un cilindro. la distancia de cualquier punto de la hélice al eje central del cilindro es siempre la misma, y lo que va variando es su altura respecto al plano de la base.

en coordenadas polares, la posición de un punto está determinada por un radio r que va desde el origen hasta cualquier punto de la curva -que en nuestro caso será de longitud constante R- y un ángulo φ respecto al eje x que se haya tomado como referencia en el plano de la base. las coordenadas cartesianas serán las proyecciones del radio sobre los ejes perpendiculares x,y situados en la base:
x=R·cos(φ)
y=R·sen(φ)

las coordenadas cilíndricas son una extrapolación a tres dimensiones de las polares, añadiendo una coordenada vertical z. nos van a servir para visualizar la hélice.

en una superficie cilíndrica, todos los puntos se encuentran a la misma distancia, R, del eje central. como la hélice está contenida dentro de la superficie cilíndrica, también cumplirá esta propiedad. sin embargo su altura variará, y lo hará según una pauta: el ángulo que forma la tangente a la hélice en cualquiera de sus puntos con el plano horizontal es siempre el mismo. lo llamaremos α.

dicho de otro modo, si cortamos el cilindro con su hélice ‘enrollada’ con un plano paralelo a la base del cilindro, en el punto donde ese plano ha cortado a la hélice se ha formado un ángulo α. esta propiedad resulta fácil de intuir en la vida real: una escalera de caracol va dando vueltas, pero notamos que tiene siempre la misma pendiente: esa pendiente es la que está definida por el ángulo α. dependiendo de que α sea mayor o menor, la pendiente será más o menos pronunciada, y por tanto nos será más o menos difícil subir por esa escalera.

existen dos maneras de llegar a las ecuaciones de una hélice: una ‘geométrica’ y una ‘física’. analizaremos las dos y después trataremos de relacionarlas.

lo que hemos llamado informalmente una superficie cilíndrica con una hélice enrollada se puede obtener enrollando sobre un cilindro un plano en el que se hayan dibujado unas líneas diagonales paralelas. el ángulo que estas líneas forman con la horizontal es el que hemos llamado antes α.

el plano mide ‘de largo’ lo mismo que la circunferencia exterior de la sección del cilindro: 2·π·R. la longitud comprendida en el tramo definido por el ángulo φ (cuidado, que ahora hablamos del ángulo de coordenadas cilíndricas) será R·φ, al ser la longitud de un arco de circunferencia igual al radio multiplicado por el ángulo medido en radianes. y la coordenada vertical z, por el teorema de pitágoras, será R·φ·tg(α).

de la expresión de z se puede despejar φ y sustituirla en la expresión de x,y. de ese modo, las dos coordenadas planas dependerán de la coordenada vertical.

en física, una hélice se obtiene por una composición de dos movimientos: un movimiento circular con velocidad angular ω constante, y un movimiento vertical con velocidad lineal v constante.

así, el ángulo de coordenadas cilíndricas que habíamos llamado φ, ahora tomará la forma ω·t, y la coordenada vertical z se expresará como v·t. el ángulo es la velocidad angular por el tiempo, y la distancia es la velocidad lineal por el tiempo, análogamente.

antes habíamos obtenido para z la expresión R·φ·tg(α). podemos sustituir en ella φ por ω·t e igualarla a v·t.

de esa manera, en las ecuaciones, en lugar de R·tg(α) aparece ω/v, es decir, el cociente entre la velocidad angular de giro y la velocidad lineal vertical. y eso tiene más sentido físico, resulta más real y tangible.

espero no haberos mareado mucho. ;) os dejo con una foto de la misma escalera, pero tomada desde la primera planta mirando hacia arriba, al revés que la primera. os gustan estas escaleras para una casa, desde el punto de vista estético? ;)