número áureo (1)
dije en más de una ocasión que le iba a dedicar una entrada al número áureo. pero, al documentarme sobre el tema, me di cuenta de que daba para varias entradas. no sé cuántas serán ni cómo las distribuiré, pero ésta es la primera y no será la última. ;)
en la entrada sobre los polígonos expliqué cómo se dibujaba un pentágono regular. su construcción se basaba en que la proporción entre su diagonal (la línea que une dos vértices no consecutivos) y su lado era el número áureo. ahora bien, eso cómo se sabe? pues bien, hay varias maneras de demostrarlo, y eso es de lo que tratará esta entrada.
empecemos por el principio. por definición, se dice que las longitudes de dos líneas están en la proporción áurea cuando la proporción entre la menor y la mayor es igual a la proporción entre la mayor y la total -que sería la suma de las dos-. en la figura tal vez se vea más claro.
en la entrada sobre los polígonos expliqué cómo se dibujaba un pentágono regular. su construcción se basaba en que la proporción entre su diagonal (la línea que une dos vértices no consecutivos) y su lado era el número áureo. ahora bien, eso cómo se sabe? pues bien, hay varias maneras de demostrarlo, y eso es de lo que tratará esta entrada.
empecemos por el principio. por definición, se dice que las longitudes de dos líneas están en la proporción áurea cuando la proporción entre la menor y la mayor es igual a la proporción entre la mayor y la total -que sería la suma de las dos-. en la figura tal vez se vea más claro.
pasamos ahora a calcular el valor numérico que tiene la proporción áurea según la definición que se ha dado. llamaremos l a la longitud del lado menor de la figura. al número áureo que tratamos de calcular lo llamaremos Φ. la longitud del lado mayor será la del menor multiplicada por esa proporción, es decir, l·Φ.
se obtiene una ecuación de segundo grado en la cual la incógnita es Φ. de las dos soluciones, tomamos la positiva. así, acabamos de calcular el valor del número áureo, que es (1+√5)/2=1.61803398875... un número con infinitas cifras decimales que nunca forman ninguna pauta periódica, y que se podrá aproximar con más exactitud cuantos más decimales se tomen.
volviendo al pentágono, para demostrar que su diagonal y su lado están en proporción áurea, el primer paso será determinar los ángulos que forma el ‘triángulo interno’ formado por el lado y las diagonales del pentágono. para ello nos basaremos en que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es 180º, propiedad en cuya demostración no entraremos aquí para no hacer esta entrada más complicada de lo que ya es... :S
en primer lugar, nos fijamos en el triángulo OAB marcado en azul, que corresponde a cada uno de los cinco ‘gajos’ del pentágono. el ángulo del vértice O sería el ángulo completo, la ‘tarta’ completa, dividida entre 5: 360º/5=72º. los ángulos de los vértices A y B serán iguales al ser un triángulo isósceles (dos de los lados, en concreto los lados OA y OB, son iguales). por tanto, a 180º le restaremos el ángulo del vértice O, 72º, y de lo que salga, la mitad será para A y la mitad para B: (180º-72º)/2=54º.
ahora nos situamos en el triángulo BCD. dada la simetría del pentágono regular, el ángulo del vértice C será el doble del ángulo del vértice A que acabamos de calcular: 2·54º=108º. de nuevo estamos ante un triángulo isósceles: los lados CB y CD son iguales, son ni más ni menos que los lados del pentágono. luego los ángulos de los vértices B y D también serán iguales. los calculamos de forma análoga a como lo hemos hecho en el caso anterior: (180º-108º)/2=36º para cada uno.
por fin llegamos al triángulo que nos interesaba, el formado por el lado y las diagonales del pentágono: el triángulo BDE. pero antes vamos a fijarnos en todo el pentágono en su conjunto: el ángulo del vértice D, considerando el pentágono completo y teniendo en cuenta su simetría, sería 108º, como hemos calculado antes. por tanto, los ángulos que forman en el vértice D los triángulos BCD y BDE (el morado y el naranja, para entendernos) deben sumar 108º. el de BCD ya lo conocemos: 36º. luego el otro, el de BDE, se obtendrá por diferencia: 108º-36º=72º.
sólo nos falta por calcular el ángulo del vértice B, pero esto ya será muy sencillo: sabiendo que el ángulo del vértice E es el mismo que el de D, es decir 72º, al tratarse de un triángulo isósceles, simplemente restaremos: 180º-72º-72º, o bien 180º-2·72º=36º.
estamos ante un triángulo isósceles peculiar. sus ángulos son 36º y dos veces 72º. el ángulo mayor es el doble del ángulo menor. se trata del único triángulo que cumple esta condición. de hecho, si se plantea el problema como un sistema de ecuaciones, imponiendo que los tres ángulos sumen 180º, que dos de ellos sean iguales, y que el ángulo ‘igual’ sea el doble del ángulo ‘desigual’:
x+2·y=180
y=2·x
se puede comprobar que la solución que se obtiene es x=36º, y=72º.
veamos qué ocurre si se traza la bisectriz desde uno de los vértices de mayor ángulo. pero antes que nada debo explicar qué es una bisectriz y cómo se traza, pues no recuerdo haberlo hecho hasta ahora en ninguna entrada anterior. la bisectriz de un ángulo es una línea que divide ese ángulo en dos ángulos, en dos sectores, iguales. buscamos dividir el ángulo de 72º en dos ángulos de 36º.
desde el vértice se trazan dos arcos con la abertura del compás que se desee, que corten a las dos líneas que delimitan el ángulo sobre el que se va a trazar la bisectriz: [1] y [2]. desde los puntos de corte de estos arcos con las lados, se trazan dos nuevos arcos, de nuevo sin importar la abertura del compás (por comodidad, podemos mantener la misma que hemos utilizado antes), con tal de que dichos arcos se corten entre sí: [3] y [4]. trazamos una línea recta que una el vértice del ángulo que estamos buscando dividir y el punto de corte de los arcos que acabamos de trazar: [5]. esa línea es la bisectriz.
al trazar la bisectriz sobre el ángulo mayor del triángulo isósceles cuyos lados son el lado del pentágono regular y sus diagonales, hemos dividido el citado ángulo, de 72º, en dos ángulos de 36º. y también hemos obtenido dos nuevos triángulos, cuyos ángulos vamos a calcular, con objeto de comprobar si existe alguna semejanza con el triángulo ‘mayor’ de cuya división provienen.
nos fijamos en el triángulo ABD, el rosa. el ángulo del vértice D es 36º, el que hemos obtenido al dividir 72º en dos partes iguales al trazar la bisectriz. el ángulo de A es 72º. luego el ángulo de B será, por diferencia: 180º-36º-72º=72º.
esto quiere decir que el triángulo ABD es semejante al triángulo ACD: el mayor, el original, el que habíamos dividido. ser semejante quiere decir que sus lados tienen las mismas proporciones y sus ángulos son iguales. al trazar la bisectriz sobre el ángulo mayor del triángulo ACD, obtenemos otro triángulo semejante. esta conclusión que acabamos de sacar será fundamental.
ahora nos fijamos en el triángulo BCD, el azul. el ángulo del vértice D, donde habíamos trazado la bisectriz, es 36º. el ángulo del vértice C tiene el mismo valor, 36º. por tanto se trata, nuevamente, de un triángulo isósceles. el ángulo del vértice B se puede calcular por diferencia, 180º-2·36º=108º, aunque no es relevante para lo que vamos a hacer.
como hemos comentado más arriba, los triángulos ACD y ABD son semejantes. AB (lado menor del triángulo pequeño) está en la misma proporción respecto a AD (lado mayor del triángulo pequeño) que AD (lado menor del triángulo grande) respecto a AC (lado mayor del triángulo grande).
esta relación, esta regla de tres, nos recuerda a la que apoyaba la definición de la proporción áurea. para hacerla más análoga, podemos servirnos de la simetría de los triángulos. dado que ABD es un triángulo isósceles, la longitud de AD es la misma que la de BD. y como BCD también es un triángulo isósceles, la longitud de BD será igual a la de BC. si AD=BD y BD=BC, entonces AD=BC.
de ese modo, AB es la longitud menor, BC es la longitud mayor, y AC es la suma de las dos. la menor está en la misma proporción respecto a la mayor que la mayor respecto a la total. y eso no es otra cosa que la definición de la proporción áurea. hemos demostrado, pues, que la diagonal de un pentágono y su lado están en proporción áurea.
hay otra manera de llegar a esta conclusión, quizá algo más analítica y menos geométrica. siendo ACD el triángulo formado por el lado del pentágono y sus diagonales, la longitud del lado del pentágono la podemos llamar l, y la longitud de la diagonal l·Φ, siendo Φ un factor, una proporción, cuyo valor en teoría no conocemos aún.
así pues, podemos decir de forma inmediata que la longitud de AD será l y la longitud de CD será l·Φ. la longitud de BD y de BC también serán l, ya que, por lo que hemos explicado antes, los triángulos ABD y BCD son isósceles.
la longitud de AC tendrá que ser la misma que la de CD, l·Φ. dicha longitud será la suma de las longitudes de AB y BC, ya que están alineadas. la longitud de BC la conocemos, es l. luego la de AB la podemos obtener por diferencia: l·Φ-l=l·(Φ-1).
dado que el triángulo ABD es semejante al triángulo ACD, el lado AB deberá estar en la misma proporción respecto a AD que AD respecto a CD. si el cociente entre la longitud de CD y la de AD es Φ, también se deberá obtener ese valor al dividir las longitudes de AD y AB. si lo hacemos, el valor de la longitud l se cancela en el numerador y en el denominador, y se obtiene que 1/(Φ-1)=Φ. o bien, Φ-1=1/Φ. de aquí se obtiene una ecuación de segundo grado en Φ igual a la que nos salía para calcular el número áureo, y que por tanto tendrá la misma solución: Φ=(1+√5)/2.
bien, pues lo vamos a dejar aquí... lo digo porque pensaba demostrar la proporción áurea entre la diagonal y el lado de un pentágono por otra vía más. pero esta entrada, tal como está ahora mismo, ya es demasiado larga. y es que siempre que están los pentágonos por medio me salen entradas kilométricas. :P
espero que os haya gustado, y os espero en el próximo capítulo de la saga áurea. ;)
se obtiene una ecuación de segundo grado en la cual la incógnita es Φ. de las dos soluciones, tomamos la positiva. así, acabamos de calcular el valor del número áureo, que es (1+√5)/2=1.61803398875... un número con infinitas cifras decimales que nunca forman ninguna pauta periódica, y que se podrá aproximar con más exactitud cuantos más decimales se tomen.
volviendo al pentágono, para demostrar que su diagonal y su lado están en proporción áurea, el primer paso será determinar los ángulos que forma el ‘triángulo interno’ formado por el lado y las diagonales del pentágono. para ello nos basaremos en que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es 180º, propiedad en cuya demostración no entraremos aquí para no hacer esta entrada más complicada de lo que ya es... :S
en primer lugar, nos fijamos en el triángulo OAB marcado en azul, que corresponde a cada uno de los cinco ‘gajos’ del pentágono. el ángulo del vértice O sería el ángulo completo, la ‘tarta’ completa, dividida entre 5: 360º/5=72º. los ángulos de los vértices A y B serán iguales al ser un triángulo isósceles (dos de los lados, en concreto los lados OA y OB, son iguales). por tanto, a 180º le restaremos el ángulo del vértice O, 72º, y de lo que salga, la mitad será para A y la mitad para B: (180º-72º)/2=54º.
ahora nos situamos en el triángulo BCD. dada la simetría del pentágono regular, el ángulo del vértice C será el doble del ángulo del vértice A que acabamos de calcular: 2·54º=108º. de nuevo estamos ante un triángulo isósceles: los lados CB y CD son iguales, son ni más ni menos que los lados del pentágono. luego los ángulos de los vértices B y D también serán iguales. los calculamos de forma análoga a como lo hemos hecho en el caso anterior: (180º-108º)/2=36º para cada uno.
por fin llegamos al triángulo que nos interesaba, el formado por el lado y las diagonales del pentágono: el triángulo BDE. pero antes vamos a fijarnos en todo el pentágono en su conjunto: el ángulo del vértice D, considerando el pentágono completo y teniendo en cuenta su simetría, sería 108º, como hemos calculado antes. por tanto, los ángulos que forman en el vértice D los triángulos BCD y BDE (el morado y el naranja, para entendernos) deben sumar 108º. el de BCD ya lo conocemos: 36º. luego el otro, el de BDE, se obtendrá por diferencia: 108º-36º=72º.
sólo nos falta por calcular el ángulo del vértice B, pero esto ya será muy sencillo: sabiendo que el ángulo del vértice E es el mismo que el de D, es decir 72º, al tratarse de un triángulo isósceles, simplemente restaremos: 180º-72º-72º, o bien 180º-2·72º=36º.
estamos ante un triángulo isósceles peculiar. sus ángulos son 36º y dos veces 72º. el ángulo mayor es el doble del ángulo menor. se trata del único triángulo que cumple esta condición. de hecho, si se plantea el problema como un sistema de ecuaciones, imponiendo que los tres ángulos sumen 180º, que dos de ellos sean iguales, y que el ángulo ‘igual’ sea el doble del ángulo ‘desigual’:
x+2·y=180
y=2·x
se puede comprobar que la solución que se obtiene es x=36º, y=72º.
veamos qué ocurre si se traza la bisectriz desde uno de los vértices de mayor ángulo. pero antes que nada debo explicar qué es una bisectriz y cómo se traza, pues no recuerdo haberlo hecho hasta ahora en ninguna entrada anterior. la bisectriz de un ángulo es una línea que divide ese ángulo en dos ángulos, en dos sectores, iguales. buscamos dividir el ángulo de 72º en dos ángulos de 36º.
desde el vértice se trazan dos arcos con la abertura del compás que se desee, que corten a las dos líneas que delimitan el ángulo sobre el que se va a trazar la bisectriz: [1] y [2]. desde los puntos de corte de estos arcos con las lados, se trazan dos nuevos arcos, de nuevo sin importar la abertura del compás (por comodidad, podemos mantener la misma que hemos utilizado antes), con tal de que dichos arcos se corten entre sí: [3] y [4]. trazamos una línea recta que una el vértice del ángulo que estamos buscando dividir y el punto de corte de los arcos que acabamos de trazar: [5]. esa línea es la bisectriz.
al trazar la bisectriz sobre el ángulo mayor del triángulo isósceles cuyos lados son el lado del pentágono regular y sus diagonales, hemos dividido el citado ángulo, de 72º, en dos ángulos de 36º. y también hemos obtenido dos nuevos triángulos, cuyos ángulos vamos a calcular, con objeto de comprobar si existe alguna semejanza con el triángulo ‘mayor’ de cuya división provienen.
nos fijamos en el triángulo ABD, el rosa. el ángulo del vértice D es 36º, el que hemos obtenido al dividir 72º en dos partes iguales al trazar la bisectriz. el ángulo de A es 72º. luego el ángulo de B será, por diferencia: 180º-36º-72º=72º.
esto quiere decir que el triángulo ABD es semejante al triángulo ACD: el mayor, el original, el que habíamos dividido. ser semejante quiere decir que sus lados tienen las mismas proporciones y sus ángulos son iguales. al trazar la bisectriz sobre el ángulo mayor del triángulo ACD, obtenemos otro triángulo semejante. esta conclusión que acabamos de sacar será fundamental.
ahora nos fijamos en el triángulo BCD, el azul. el ángulo del vértice D, donde habíamos trazado la bisectriz, es 36º. el ángulo del vértice C tiene el mismo valor, 36º. por tanto se trata, nuevamente, de un triángulo isósceles. el ángulo del vértice B se puede calcular por diferencia, 180º-2·36º=108º, aunque no es relevante para lo que vamos a hacer.
como hemos comentado más arriba, los triángulos ACD y ABD son semejantes. AB (lado menor del triángulo pequeño) está en la misma proporción respecto a AD (lado mayor del triángulo pequeño) que AD (lado menor del triángulo grande) respecto a AC (lado mayor del triángulo grande).
esta relación, esta regla de tres, nos recuerda a la que apoyaba la definición de la proporción áurea. para hacerla más análoga, podemos servirnos de la simetría de los triángulos. dado que ABD es un triángulo isósceles, la longitud de AD es la misma que la de BD. y como BCD también es un triángulo isósceles, la longitud de BD será igual a la de BC. si AD=BD y BD=BC, entonces AD=BC.
de ese modo, AB es la longitud menor, BC es la longitud mayor, y AC es la suma de las dos. la menor está en la misma proporción respecto a la mayor que la mayor respecto a la total. y eso no es otra cosa que la definición de la proporción áurea. hemos demostrado, pues, que la diagonal de un pentágono y su lado están en proporción áurea.
hay otra manera de llegar a esta conclusión, quizá algo más analítica y menos geométrica. siendo ACD el triángulo formado por el lado del pentágono y sus diagonales, la longitud del lado del pentágono la podemos llamar l, y la longitud de la diagonal l·Φ, siendo Φ un factor, una proporción, cuyo valor en teoría no conocemos aún.
así pues, podemos decir de forma inmediata que la longitud de AD será l y la longitud de CD será l·Φ. la longitud de BD y de BC también serán l, ya que, por lo que hemos explicado antes, los triángulos ABD y BCD son isósceles.
la longitud de AC tendrá que ser la misma que la de CD, l·Φ. dicha longitud será la suma de las longitudes de AB y BC, ya que están alineadas. la longitud de BC la conocemos, es l. luego la de AB la podemos obtener por diferencia: l·Φ-l=l·(Φ-1).
dado que el triángulo ABD es semejante al triángulo ACD, el lado AB deberá estar en la misma proporción respecto a AD que AD respecto a CD. si el cociente entre la longitud de CD y la de AD es Φ, también se deberá obtener ese valor al dividir las longitudes de AD y AB. si lo hacemos, el valor de la longitud l se cancela en el numerador y en el denominador, y se obtiene que 1/(Φ-1)=Φ. o bien, Φ-1=1/Φ. de aquí se obtiene una ecuación de segundo grado en Φ igual a la que nos salía para calcular el número áureo, y que por tanto tendrá la misma solución: Φ=(1+√5)/2.
bien, pues lo vamos a dejar aquí... lo digo porque pensaba demostrar la proporción áurea entre la diagonal y el lado de un pentágono por otra vía más. pero esta entrada, tal como está ahora mismo, ya es demasiado larga. y es que siempre que están los pentágonos por medio me salen entradas kilométricas. :P
espero que os haya gustado, y os espero en el próximo capítulo de la saga áurea. ;)
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