número áureo (2)
era cuestión de tiempo que hablara de la célebre sucesión de fibonacci. la pauta de esta sucesión numérica es que cada término se obtiene como la suma de los dos anteriores. fue ideada por leonardo de pisa -conocido por el sobrenombre de fibonacci- con el objetivo de estimar el número de ejemplares de una población de conejos formada a partir de una pareja.
veamos cómo se forma esta sucesión. llamaremos f(n) a cada término, siendo ‘n’ un número entero que indica el lugar que ocupa en la sucesión. como se ha explicado antes, cada término se obtiene sumando los dos anteriores. al término 0 (en las sucesiones numéricas a menudo se le da al primer término el subíndice 0) y al término 1 se les asignarán los valores 0 y 1, respectivamente. a partir de ahí ya se puede aplicar la regla de sumar los dos anteriores.
f(0)=0
f(1)=1
f(2)=f(0)+f(1)=...........0+1=....1
f(3)=f(1)+f(2)=...........1+1=....2
f(4)=f(2)+f(3)=...........1+2=....3
f(5)=f(3)+f(4)=...........2+3=....5
f(6)=f(4)+f(5)=...........3+5=....8
f(7)=f(5)+f(6)=...........5+8=...13
f(8)=f(6)+f(7)=..........8+13=...21
f(9)=f(7)+f(8)=.........13+21=...34
f(10)=f(8)+f(9)=........21+34=...55
f(11)=f(9)+f(10)=.......34+55=...89
f(12)=f(10)+f(11)=......55+89=..144
f(13)=f(11)+f(12)=.....89+144=..233
f(14)=f(12)+f(13)=....144+233=..377
f(15)=f(13)+f(14)=....233+377=..610
f(16)=f(14)+f(15)=....377+610=..987
f(17)=f(15)+f(16)=....610+987=.1597
f(18)=f(16)+f(17)=...987+1597=.2584
f(19)=f(17)+f(18)=..1597+2584=.4181
f(20)=f(18)+f(19)=..2584+4184=.6765
f(21)=f(19)+f(20)=..4181+6768=10946
f(22)=f(20)+f(21)=.6768+10949=17711
f(23)=f(21)+f(22)=10949+17717=28657
f(24)=f(22)+f(23)=17717+28666=46368
f(25)=f(23)+f(24)=28666+46383=75025
como se puede apreciar, esta sucesión crece muy rápidamente. hemos mostrado tan sólo 25 términos, y con uno más que añadiéramos ya nos situaríamos en las centenas de millar.
el crecimiento de esta sucesión es tan pronunciado que se asemeja a una exponencial. qué es una exponencial? es una función en la que un número constante va elevado a una potencia, que es la variable. kx es una exponencial. k es la base, y es una constante. x es el exponente, y es la variable. cuando k, la base, sea un número mayor que 1, la función tendrá un crecimiento muy pronunciado para valores de x -el exponente- de 1 en adelante.
por otro lado, se cumple una interesante propiedad. vamos a hallar el cociente incremental de la función para dos valores: uno, el inicial; y otro, el inicial más una cantidad: x; x+Δx. recordemos que para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes.
el resultado de ese cociente, como vemos, es la base elevada a la cantidad en que se incrementa la variable. en caso de que la sucesión de fibonacci se asemeje a una exponencial, los incrementos de la variable para nosotros serán 1 siempre, porque al tratarse de una sucesión de números enteros, se va saltando de 1 en 1. así, por tanto, Δx será 1, y cualquier base elevada a 1 es la misma base. buscamos que al dividir cada término entre el anterior se obtenga algo parecido a una constante, que será la base de la exponencial a la que se aproximará la sucesión.
así pues, partiendo de los datos de la tabla anterior, vamos a calcular el cociente entre cada término y el anterior, y veamos qué se obtiene.
f(2)/f(1)=..........1/1=1
f(3)/f(2)=..........2/1=2
f(4)/f(3)=..........3/2=1.5
f(5)/f(4)=..........5/3=1.66666666667
f(6)/f(5)=..........8/5=1.6
f(7)/f(6)=.........13/8=1.625
f(8)/f(7)=........21/13=1.61538461538
f(9)/f(8)=........34/21=1.61904761905
f(10)/f(9)=.......55/34=1.61764705882
f(11)/f(10)=......89/55=1.61818181818
f(12)/f(11)=.....144/89=1.61797752809
f(13)/f(12)=....233/144=1.61805555556
f(14)/f(13)=....377/233=1.61802575107
f(15)/f(14)=....610/377=1.61803713528
f(16)/f(15)=....987/610=1.61803278689
f(17)/f(16)=...1597/987=1.61803444782
f(18)/f(17)=..2584/1597=1.61803381340
f(19)/f(18)=..4181/2584=1.61803405573
f(20)/f(19)=..6765/4181=1.61803396317
f(21)/f(20)=.10946/6765=1.61803399852
f(22)/f(21)=17711/10946=1.61803398502
f(23)/f(22)=28657/17711=1.61803399018
f(24)/f(23)=46368/28657=1.61803398821
f(25)/f(24)=75025/46368=1.61803398896
os habéis fijado en que el valor de la relación entre cada término y el anterior, aumenta y disminuye alternativamente, pero esas ‘oscilaciones’ se van haciendo cada vez menores, hasta que por fin parece estabilizarse en torno a un cierto valor? vamos a tomar el último resultado de la tabla, que si bien no es el número exacto al que convergen estos cocientes (para eso se necesitarían infinitos términos), lo suponemos lo suficientemente aproximado.
1.61803398896. este número no nos suena de algo? no se parece al número áureo? vamos a calcular su valor exacto con ayuda de la calculadora para salir de dudas. recordemos que el número áureo era (1+√5)/2. el resultado es...
1.61803398875. pues sí! al dividir cada término de la sucesión de fibonacci por el anterior se obtiene un valor que se aproxima cada vez más al número áureo, cuanto más avanzados sean los términos que tomemos. el número áureo también está detrás de la sucesión de fibonacci.
llamaremos Φ al número áureo, como hicimos en la entrada anterior dedicada a este tema. podemos concluir que la función exponencial a la que se asemeja la sucesión de fibonacci es la que tiene por base el número áureo, es decir, Φx? pues casi. lo más probable es que esté multiplicada por una constante que no esté afectada por el exponente x. tendrá, por tanto, la forma C·kΔx.
efectivamente, se sigue cumpliendo la misma regla de que el cociente incremental es igual a la base elevada al incremento de la variable. la constante C se cancela en el numerador y en el denominador. este caso no lo habíamos contemplado antes para no descentrarnos de la idea que queríamos transmitir, pero ahora conviene tenerlo presente.
para hallar el valor de esta constante multiplicativa que diferencia a la sucesión de fibonacci de la exponencial cuya base es el número áureo, vamos a comparar los valores de la sucesión y de la función. se comprueba fácilmente que los valores de la exponencial son mayores que los de la sucesión, por lo que calcularemos el valor del cociente entre la primera y la segunda. lo haremos así, simplemente porque se tiende a dividir lo más grande entre lo más pequeño, y al obtener como cociente un número mayor que 1, será más fácil identificarlo como la raíz cuadrada de un número entero, o cualquier otra cosa que pueda salir.
n....f(n)....Φn..............Φn/f(n)
1........1...1.61803398875...1.61803398875
2........1...2.61803398875...2.61803398875
3........2...4.23606797750...2.11803398875
4........3...6.85410196625...2.28470065542
5........5...11.0901699438...2.21803398876
6........8...17.9442719101...2.24303398875
7.......13...29.0344418539...2.23341860414
8.......21...46.9787137640...2.23708160780
9.......34...76.0131556179...2.23568104757
10......55...122.991869382...2.23621580693
11......89...199.005025000...2.23601151684
12.....144...321.996894382...2.23608954431
13.....233...521.001919382...2.23605973982
14.....377...842.998813764...2.23607112403
15.....610...1364.00073315...2.23606677564
16.....987...2206.99954692...2.23606843658
17....1597...3571.00028007...2.23606780215
18....2584...5777.99982699...2.23606804448
19....4181...9349.00010706...2.23606795192
20....6765...15126.9999341...2.23606798727
21...10946...24476.0000412...2.23606797377
22...17711...39602.9999753...2.23606797893
23...28657...64079.0000165...2.23606797696
24...46368...103681.999992...2.23606797772
25...75025...167761.000009...2.23606797742
de manera similar a como ocurría en la tabla anterior, los términos que obtenemos oscilan al comienzo para estabilizarse después en torno a un cierto valor. tomamos el último de ellos, que suponemos lo bastante aproximado a juzgar por la escasa diferencia en decimales obtenida respecto a los términos anteriores más próximos.
2.23606797742. se parece bastante a la raíz cuadrada de 5, cifra que nos suena al haber tenido que hallar el valor del número áureo con la calculadora: (1+√5)/2. pero, por si queda alguna duda, calculamos √5, y nos sale: 2.23606797750.
por tanto, cuando se toma un número de términos lo suficientemente alto, la exponencial cuya base es el número áureo se aproxima a la sucesión de fibonacci multiplicada por la raíz cuadrada de 5.
Φx ≈ √5·f(n)
o bien, para referir esta igualdad a la sucesión de fibonacci, podemos decir que la sucesión es igual a la exponencial dividida entre la raíz cuadrada de 5.
f(n) ≈ Φx/√5
en la siguiente tabla comparamos los valores de la sucesión de fibonacci y de la exponencial del número áureo dividida entre raíz de 5, y comprobamos que a los pocos términos se hacen muy próximas. si se quisiera representar en dos gráficas superpuestas la sucesión y la función, la diferencia sería muy difícil de apreciar.
n....f(n)....Φn/√5
1........1...0.72360679775
2........1...1.17082039325
3........2...1.89442719100
4........3...3.06524758425
5........5...4.95967477527
6........8...8.02492235950
7.......13...12.9845971348
8.......21...21.0095194943
9.......34...33.9941166290
10......55...55.0036361231
11......89...88.9977527524
12.....144...144.001388875
13.....233...232.999141628
14.....377...377.000530503
15.....610...609.999672132
16.....987...987.000202636
17....1597...1596.99987477
18....2584...2584.00007740
19....4181...4180.99995217
20....6765...6765.00002957
21...10946...10945.9999817
22...17711...17711.0000113
23...28657...28656.9999931
24...46368...46368.0000046
25...75025...75025.9999973
en esta gráfica he representado de forma aproximada la sucesión de fibonacci, basándome en la similitud con la exponencial de la que hemos hablado. pinchando sobre ella se puede ver ampliada. como vemos, es una gráfica extremadamente estrecha y alta, lo que da una idea del ritmo de crecimiento de esta sucesión.
así pues, ya hemos descubierto el secreto de cómo evoluciona el número de conejitos de una camada. de vez en cuando nace un ejemplar con cualidades excepcionales, pero esos fenómenos ya no se explican con la sucesión de fibonacci ni con el número áureo... o sí? ;)
p-d: la viñeta de ‘alicia en el país de las maravillas’ es de la gran trini tinturé. y la primera ilustración que aparece en la entrada, alguien es capaz de adivinar de quién es? es de otro famoso dibujante español, si queréis os iré dando más pistas... ;)
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y ahora pasamos a otro tema. cloti me ha concedido hace poco este bonito premio con forma de copa deportiva. está acompañado de un entretenido meme que consiste, esta vez, en contar siete secretos sobre uno mismo. paso a hacerlo a continuación. gracias, cloti, por pensar en mí!! :)
1. no sólo me gustan los coches antiguos, sino que tengo el sueño recurrente de que los veo y me da pena no llevar la cámara para fotografiarlos. :P
2. cada vez tengo más vértigo y más acrofobia. si tuviera hijos acabaría loco de estar todo el día tras ellos diciéndoles “no te subas ahí”, “no te arrimes allá”...
3. desde que salí de la universidad y abandoné la rutina de los exámenes en febrero, junio y septiembre, a veces pierdo la noción del tiempo y me quedo por un instante preguntándome en qué época del año estamos. :S
4. me canso mucho más caminando despacio o estando de pie que caminando deprisa.
5. la electricidad y el electromagnetismo en física son temas que nunca entendí del todo, aunque supiera hacer los problemas. no “veía” el sentido físico de aquello, y sigo sin verlo... es un tema para una próxima entrada.
6. me gusta hacer mis propias recopilaciones de grandes éxitos de grupos de los que soy muy fan, para mí mismo o para regalar a alguien.
7. tengo varias chicas por ahí que me hacen tilín. no quiero fijarme exclusivamente en una, en la variedad está el gusto. ;)
bien, ahora debo pasar este premio a quien yo quiera. en esta ocasión, se lo voy a conceder a wendy. te ha tocado!! y seguro que das respuestas interesantes al meme, si te animas a hacerlo. :)
veamos cómo se forma esta sucesión. llamaremos f(n) a cada término, siendo ‘n’ un número entero que indica el lugar que ocupa en la sucesión. como se ha explicado antes, cada término se obtiene sumando los dos anteriores. al término 0 (en las sucesiones numéricas a menudo se le da al primer término el subíndice 0) y al término 1 se les asignarán los valores 0 y 1, respectivamente. a partir de ahí ya se puede aplicar la regla de sumar los dos anteriores.
f(0)=0
f(1)=1
f(2)=f(0)+f(1)=...........0+1=....1
f(3)=f(1)+f(2)=...........1+1=....2
f(4)=f(2)+f(3)=...........1+2=....3
f(5)=f(3)+f(4)=...........2+3=....5
f(6)=f(4)+f(5)=...........3+5=....8
f(7)=f(5)+f(6)=...........5+8=...13
f(8)=f(6)+f(7)=..........8+13=...21
f(9)=f(7)+f(8)=.........13+21=...34
f(10)=f(8)+f(9)=........21+34=...55
f(11)=f(9)+f(10)=.......34+55=...89
f(12)=f(10)+f(11)=......55+89=..144
f(13)=f(11)+f(12)=.....89+144=..233
f(14)=f(12)+f(13)=....144+233=..377
f(15)=f(13)+f(14)=....233+377=..610
f(16)=f(14)+f(15)=....377+610=..987
f(17)=f(15)+f(16)=....610+987=.1597
f(18)=f(16)+f(17)=...987+1597=.2584
f(19)=f(17)+f(18)=..1597+2584=.4181
f(20)=f(18)+f(19)=..2584+4184=.6765
f(21)=f(19)+f(20)=..4181+6768=10946
f(22)=f(20)+f(21)=.6768+10949=17711
f(23)=f(21)+f(22)=10949+17717=28657
f(24)=f(22)+f(23)=17717+28666=46368
f(25)=f(23)+f(24)=28666+46383=75025
como se puede apreciar, esta sucesión crece muy rápidamente. hemos mostrado tan sólo 25 términos, y con uno más que añadiéramos ya nos situaríamos en las centenas de millar.
el crecimiento de esta sucesión es tan pronunciado que se asemeja a una exponencial. qué es una exponencial? es una función en la que un número constante va elevado a una potencia, que es la variable. kx es una exponencial. k es la base, y es una constante. x es el exponente, y es la variable. cuando k, la base, sea un número mayor que 1, la función tendrá un crecimiento muy pronunciado para valores de x -el exponente- de 1 en adelante.
por otro lado, se cumple una interesante propiedad. vamos a hallar el cociente incremental de la función para dos valores: uno, el inicial; y otro, el inicial más una cantidad: x; x+Δx. recordemos que para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes.
kx+Δx/kx = kΔx
el resultado de ese cociente, como vemos, es la base elevada a la cantidad en que se incrementa la variable. en caso de que la sucesión de fibonacci se asemeje a una exponencial, los incrementos de la variable para nosotros serán 1 siempre, porque al tratarse de una sucesión de números enteros, se va saltando de 1 en 1. así, por tanto, Δx será 1, y cualquier base elevada a 1 es la misma base. buscamos que al dividir cada término entre el anterior se obtenga algo parecido a una constante, que será la base de la exponencial a la que se aproximará la sucesión.
así pues, partiendo de los datos de la tabla anterior, vamos a calcular el cociente entre cada término y el anterior, y veamos qué se obtiene.
f(2)/f(1)=..........1/1=1
f(3)/f(2)=..........2/1=2
f(4)/f(3)=..........3/2=1.5
f(5)/f(4)=..........5/3=1.66666666667
f(6)/f(5)=..........8/5=1.6
f(7)/f(6)=.........13/8=1.625
f(8)/f(7)=........21/13=1.61538461538
f(9)/f(8)=........34/21=1.61904761905
f(10)/f(9)=.......55/34=1.61764705882
f(11)/f(10)=......89/55=1.61818181818
f(12)/f(11)=.....144/89=1.61797752809
f(13)/f(12)=....233/144=1.61805555556
f(14)/f(13)=....377/233=1.61802575107
f(15)/f(14)=....610/377=1.61803713528
f(16)/f(15)=....987/610=1.61803278689
f(17)/f(16)=...1597/987=1.61803444782
f(18)/f(17)=..2584/1597=1.61803381340
f(19)/f(18)=..4181/2584=1.61803405573
f(20)/f(19)=..6765/4181=1.61803396317
f(21)/f(20)=.10946/6765=1.61803399852
f(22)/f(21)=17711/10946=1.61803398502
f(23)/f(22)=28657/17711=1.61803399018
f(24)/f(23)=46368/28657=1.61803398821
f(25)/f(24)=75025/46368=1.61803398896
os habéis fijado en que el valor de la relación entre cada término y el anterior, aumenta y disminuye alternativamente, pero esas ‘oscilaciones’ se van haciendo cada vez menores, hasta que por fin parece estabilizarse en torno a un cierto valor? vamos a tomar el último resultado de la tabla, que si bien no es el número exacto al que convergen estos cocientes (para eso se necesitarían infinitos términos), lo suponemos lo suficientemente aproximado.
1.61803398896. este número no nos suena de algo? no se parece al número áureo? vamos a calcular su valor exacto con ayuda de la calculadora para salir de dudas. recordemos que el número áureo era (1+√5)/2. el resultado es...
1.61803398875. pues sí! al dividir cada término de la sucesión de fibonacci por el anterior se obtiene un valor que se aproxima cada vez más al número áureo, cuanto más avanzados sean los términos que tomemos. el número áureo también está detrás de la sucesión de fibonacci.
llamaremos Φ al número áureo, como hicimos en la entrada anterior dedicada a este tema. podemos concluir que la función exponencial a la que se asemeja la sucesión de fibonacci es la que tiene por base el número áureo, es decir, Φx? pues casi. lo más probable es que esté multiplicada por una constante que no esté afectada por el exponente x. tendrá, por tanto, la forma C·kΔx.
efectivamente, se sigue cumpliendo la misma regla de que el cociente incremental es igual a la base elevada al incremento de la variable. la constante C se cancela en el numerador y en el denominador. este caso no lo habíamos contemplado antes para no descentrarnos de la idea que queríamos transmitir, pero ahora conviene tenerlo presente.
(C·kx+Δx)/(C·kx) = kx
para hallar el valor de esta constante multiplicativa que diferencia a la sucesión de fibonacci de la exponencial cuya base es el número áureo, vamos a comparar los valores de la sucesión y de la función. se comprueba fácilmente que los valores de la exponencial son mayores que los de la sucesión, por lo que calcularemos el valor del cociente entre la primera y la segunda. lo haremos así, simplemente porque se tiende a dividir lo más grande entre lo más pequeño, y al obtener como cociente un número mayor que 1, será más fácil identificarlo como la raíz cuadrada de un número entero, o cualquier otra cosa que pueda salir.
n....f(n)....Φn..............Φn/f(n)
1........1...1.61803398875...1.61803398875
2........1...2.61803398875...2.61803398875
3........2...4.23606797750...2.11803398875
4........3...6.85410196625...2.28470065542
5........5...11.0901699438...2.21803398876
6........8...17.9442719101...2.24303398875
7.......13...29.0344418539...2.23341860414
8.......21...46.9787137640...2.23708160780
9.......34...76.0131556179...2.23568104757
10......55...122.991869382...2.23621580693
11......89...199.005025000...2.23601151684
12.....144...321.996894382...2.23608954431
13.....233...521.001919382...2.23605973982
14.....377...842.998813764...2.23607112403
15.....610...1364.00073315...2.23606677564
16.....987...2206.99954692...2.23606843658
17....1597...3571.00028007...2.23606780215
18....2584...5777.99982699...2.23606804448
19....4181...9349.00010706...2.23606795192
20....6765...15126.9999341...2.23606798727
21...10946...24476.0000412...2.23606797377
22...17711...39602.9999753...2.23606797893
23...28657...64079.0000165...2.23606797696
24...46368...103681.999992...2.23606797772
25...75025...167761.000009...2.23606797742
de manera similar a como ocurría en la tabla anterior, los términos que obtenemos oscilan al comienzo para estabilizarse después en torno a un cierto valor. tomamos el último de ellos, que suponemos lo bastante aproximado a juzgar por la escasa diferencia en decimales obtenida respecto a los términos anteriores más próximos.
2.23606797742. se parece bastante a la raíz cuadrada de 5, cifra que nos suena al haber tenido que hallar el valor del número áureo con la calculadora: (1+√5)/2. pero, por si queda alguna duda, calculamos √5, y nos sale: 2.23606797750.
por tanto, cuando se toma un número de términos lo suficientemente alto, la exponencial cuya base es el número áureo se aproxima a la sucesión de fibonacci multiplicada por la raíz cuadrada de 5.
Φx ≈ √5·f(n)
o bien, para referir esta igualdad a la sucesión de fibonacci, podemos decir que la sucesión es igual a la exponencial dividida entre la raíz cuadrada de 5.
f(n) ≈ Φx/√5
en la siguiente tabla comparamos los valores de la sucesión de fibonacci y de la exponencial del número áureo dividida entre raíz de 5, y comprobamos que a los pocos términos se hacen muy próximas. si se quisiera representar en dos gráficas superpuestas la sucesión y la función, la diferencia sería muy difícil de apreciar.
n....f(n)....Φn/√5
1........1...0.72360679775
2........1...1.17082039325
3........2...1.89442719100
4........3...3.06524758425
5........5...4.95967477527
6........8...8.02492235950
7.......13...12.9845971348
8.......21...21.0095194943
9.......34...33.9941166290
10......55...55.0036361231
11......89...88.9977527524
12.....144...144.001388875
13.....233...232.999141628
14.....377...377.000530503
15.....610...609.999672132
16.....987...987.000202636
17....1597...1596.99987477
18....2584...2584.00007740
19....4181...4180.99995217
20....6765...6765.00002957
21...10946...10945.9999817
22...17711...17711.0000113
23...28657...28656.9999931
24...46368...46368.0000046
25...75025...75025.9999973
en esta gráfica he representado de forma aproximada la sucesión de fibonacci, basándome en la similitud con la exponencial de la que hemos hablado. pinchando sobre ella se puede ver ampliada. como vemos, es una gráfica extremadamente estrecha y alta, lo que da una idea del ritmo de crecimiento de esta sucesión.
así pues, ya hemos descubierto el secreto de cómo evoluciona el número de conejitos de una camada. de vez en cuando nace un ejemplar con cualidades excepcionales, pero esos fenómenos ya no se explican con la sucesión de fibonacci ni con el número áureo... o sí? ;)
p-d: la viñeta de ‘alicia en el país de las maravillas’ es de la gran trini tinturé. y la primera ilustración que aparece en la entrada, alguien es capaz de adivinar de quién es? es de otro famoso dibujante español, si queréis os iré dando más pistas... ;)
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y ahora pasamos a otro tema. cloti me ha concedido hace poco este bonito premio con forma de copa deportiva. está acompañado de un entretenido meme que consiste, esta vez, en contar siete secretos sobre uno mismo. paso a hacerlo a continuación. gracias, cloti, por pensar en mí!! :)
1. no sólo me gustan los coches antiguos, sino que tengo el sueño recurrente de que los veo y me da pena no llevar la cámara para fotografiarlos. :P
2. cada vez tengo más vértigo y más acrofobia. si tuviera hijos acabaría loco de estar todo el día tras ellos diciéndoles “no te subas ahí”, “no te arrimes allá”...
3. desde que salí de la universidad y abandoné la rutina de los exámenes en febrero, junio y septiembre, a veces pierdo la noción del tiempo y me quedo por un instante preguntándome en qué época del año estamos. :S
4. me canso mucho más caminando despacio o estando de pie que caminando deprisa.
5. la electricidad y el electromagnetismo en física son temas que nunca entendí del todo, aunque supiera hacer los problemas. no “veía” el sentido físico de aquello, y sigo sin verlo... es un tema para una próxima entrada.
6. me gusta hacer mis propias recopilaciones de grandes éxitos de grupos de los que soy muy fan, para mí mismo o para regalar a alguien.
7. tengo varias chicas por ahí que me hacen tilín. no quiero fijarme exclusivamente en una, en la variedad está el gusto. ;)
bien, ahora debo pasar este premio a quien yo quiera. en esta ocasión, se lo voy a conceder a wendy. te ha tocado!! y seguro que das respuestas interesantes al meme, si te animas a hacerlo. :)
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