número áureo (3)

la proporción áurea está presente en muchos fenómenos de la naturaleza. uno de ellos, el crecimiento de las espirales que forman las conchas de los moluscos, cuyo ejemplo quizá más característico es el caracol. mortadelo aparece en la viñeta con un disfraz de caracol, que aunque no deja de ser un disfraz, tiene una concha con su espiral bastante lograda. ;)

dibujar una espiral áurea -también llamada logarítmica- a mano alzada, tiene un procedimiento algo laborioso al principio, pero sencillo y divertido después, y que no tiene más limitación que el tamaño del papel del que se disponga.

lo primero que hay que hacer es dibujar un rectángulo en el que el lado mayor tenga una longitud igual a la del menor multiplicada por el número áureo. es decir, un rectángulo en el que los dos lados estén en la proporción áurea.

trazamos una larga línea recta, para poder hacer construcciones con comodidad sobre ella. sobre esa línea marcamos un segmento de la longitud que deseemos, que será el lado menor del rectángulo del que hemos hablado en el párrafo anterior: [1]. tomamos con el compás esa longitud, y la marcamos desde el extremo del lado sobre su prolongación: [2].

sobre la distancia elegida arbitrariamente al principio que hemos marcado por segunda vez, trazamos la mediatriz, para dividirla en dos mitades iguales: [3]. recordemos que la mediatriz se obtiene trazando desde ambos extremos de la línea dos arcos por arriba y dos por abajo, con la abertura del compás que se quiera, pero que se corten entre sí; y uniendo esos puntos de corte, se traza la mediatriz.

recordemos que el valor del número áureo era (1+√5)/2, que se puede expresar como 1/2+√5/2. √5/2 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 1/2. por tanto, si desde el punto medio y desde el extremo de la línea trazada en la instrucción nº2 trazamos dos perpendiculares, y sobre ellas llevamos la longitud de esa línea, se formará un rectángulo cuyos lados, en proporción con esa longitud, serán 1 y 1/2. la longitud de la diagonal de ese rectángulo será, entonces, √5/2: [4]

la longitud de valor √5/2 la llevamos con el compás sobre la línea base que habíamos trazado al principio: [5]. así pues, la distancia comprendida entre los extremos de la flecha verde discontinua que he trazado será: 1/2+√5/2: la proporción áurea.

desde el extremo de la primera línea que habíamos marcado, con una longitud arbitraria, trazamos una perpendicular. tomamos con el compás la distancia equivalente al lado multiplicado por la proporción áurea, que es la que hemos obtenido con las instrucciones anteriores, y la llevamos sobre esa perpendicular: [6].

así, hemos conseguido construir un rectángulo en el que los lados están en la proporción áurea. a partir de ahora denotaremos los vértices con letras, pues será útil para situarse en el dibujo.

ahora queremos dividir ese rectángulo en dos partes: un cuadrado cuyo lado sea el lado menor del rectángulo, y el rectángulo restante que quede. para ello, sobre el lado mayor del rectángulo ABCD, llevamos la longitud del lado menor: [7]. desde ese punto trazamos una paralela al lado menor, y ya tenemos el cuadrado marcado, definido por los vértices ABEF.

ha quedado un pequeño rectángulo resultante de esta división, de vértices CDEF. sobre él realizaremos un procedimiento similar. llevamos el lado menor de ese rectángulo sobre su lado mayor: [8]. trazamos una paralela al lado menor del rectángulo CDEF, y de ese modo, nuevamente lo hemos dividido en un cuadrado de lado igual al lado menor del rectángulo, y el rectángulo resultante. el nuevo cuadrado marcado está definido por los vértices CEGH.

a partir de aquí ya podemos empezar a trazar los primeros tramos de la espiral. dentro de los cuadrados que hemos obtenido de esta construcción, el pequeño (CEGH) y el grande (ABEF), trazaremos un arco en cada uno. serán arcos similares a un cuarto de circunferencia para que os hagáis una idea, y serán tangentes entre sí en el punto donde se unen las bases de los dos cuadrados -el vértice común E-. los arcos los trazaremos en tamaño proporcional al de los cuadrados. procedemos a trazarlos, pues: [9] y [10].

lo más difícil ya está hecho. a partir de ahora será todo mucho más fácil y entretenido.

desde el lado delimitado por los vértices AD, vamos a construir un cuadrado que tenga por base ese lado. para ello, desde cualquiera de los extremos (A, por ejemplo) trazamos una perpendicular, y sobre ella marcamos con el compás la longitud de AD: [11]. terminamos de dibujar el cuadrado trazando desde ese punto una paralela a AD, y desde D una perpendicular a la misma, y ya tenemos cerrado el cuadrado.

dentro de este último cuadrado, de vértices ADIJ, trazamos un nuevo arco de la espiral. va a ser la prolongación del más grande de los que hemos trazado antes, y será tangente por su punto en común, el vértice A.

daos cuenta de que su ‘anchura’ (a falta de otra palabra mejor) va a abarcar a los dos arcos anteriores, pues se encuentra inscrito en el cuadrado que tiene por lado AD, que era el lado mayor de la construcción con la que habíamos comenzado. ésa es la peculiaridad de una espiral áurea: cada nuevo trazo es “tan grande como todos los demás juntos”, por decirlo de un modo que lo entienda todo el mundo. esto la hace en cierto modo semejante a la sucesión de fibonacci, en cuyo crecimiento tenía mucho que ver el número áureo, como vimos en la entrada anterior sobre este tema.

volviendo a la construcción de la espiral, trazamos a mano alzada el arco inscrito en el cuadrado ADIJ: [12].

a partir de ahora, todos los pasos serán como los últimos que acabamos de dar. yo he seguido trazando arcos de espiral todo lo que me ha dado de sí el tamaño de un folio, que por otro lado no es mucho dado el rápido crecimiento de una espiral áurea que hemos comentado antes.

construimos un cuadrado que tenga por base el lado CJ. desde uno de los extremos trazamos una perpendicular, y sobre ella llevamos la longitud del lado: [13]. cerramos el cuadrado, y dentro de él trazamos un nuevo arco de espiral, prolongación del último que habíamos trazado, y tangente por su punto común, el vértice J: [14]. ya vamos teniendo que hacerlo más cuidadosamente, pues el tamaño del cuadrado es mayor, lo que dificulta el trazado a mano alzada.

las espirales que aparecen en los dibujos escaneados de esta entrada, parece que son todas la misma pero girada en diferentes ángulos. pero no, si ampliáis los dibujos, podéis ver que cada una tiene un trazo adicional respecto a la anterior. :D lo que pasa es que, como estas espirales crecen tan rápido, si enfocas el dibujo para que se vea el último trazo que has añadido, los trazos anteriores van viéndose cada vez más pequeños. y no digamos los primeros de todos, que están en el centro, esos ya son casi imperceptibles. por eso da la sensación de que siempre se está viendo lo mismo.

bien, vamos a dar otra “vuelta de tuerca” más. dibujamos un cuadrado con base el lado BK, y para ello llevamos la longitud de ese lado sobre una perpendicular trazada desde el extremo del mismo: [15], y cerramos el cuadrado. trazamos un nuevo arco de la espiral, tangente al anterior por el punto común, el vértice K: [16].

qué guai, he estimado bien las medidas, y el último trazo de la espiral no se me saldrá del folio! :D bueno, en realidad éste no ha sido el primer intento, ni el segundo, ni el tercero, ejem... los folios que he gastado los utilizaré para escribir en sucio, en ese sentido no hay problema. :P

construimos un cuadrado de base IM. llevamos la longitud del lado sobre una perpendicular trazada desde uno de los extremos: [17]. para eso ya hay que abrir el compás al máximo. :P cerramos el cuadrado como podemos -en mi caso con esfuerzo, porque mi escuadra y mi cartabón son un poco chiquitajos-. y dentro de ese “cuadradote”, trazamos el último arco de espiral, tangente al anterior por el vértice común M: [18]. lo hacemos con mucha paciencia y marcando todos los trazos que haga falta hasta que quede bien, que en un cuadrado tan grande y sin ningún punto de referencia, no es fácil...

y por fin! ésta es la espiral más grande que se puede dibujar en un folio apaisado. os gusta? relaja mucho, os lo recomiendo. ;)

he querido explicar con detalle todas las construcciones gráficas, pero quisiera recordaros que muchas de ellas también están explicadas en la entrada sobre los polígonos. según cómo tenga el día puedo ser más claro o menos, y si aquí no se me entiende algo, igual en la otra entrada sí, o viceversa. ;)

bueno, espero que os hayan gustado las espirales. que, por cierto, no se encuentran sólo en las conchas. también están en los cuernos de ciertos animales. por ejemplo, en el cuerno de un unicornio se forma algo similar a una espiral áurea proyectada sobre un cono. probablemente estos seres deban en gran medida su magia a la espiral que hay en su cuerno. wendy, esto va por ti, que sé que te gustan los unicornios. :D