elipses

en años anteriores no me fijaba demasiado en el muro que separa la playas de la magdalena y los bikinis, pero este verano me está inspirando mucho. ;)

este muro -que también sirve como puente entre las playas y algunas zonas rocosas de la península de la magdalena- tiene unos arcos que permiten el paso de bañistas de un lado a otro. dichos arcos, en su parte superior, tienen forma de elipse.

la forma elíptica se emplea en este tipo de construcciones porque resulta ventajosa desde el punto de vista de la resistencia. pero de esto sabrán más los arquitectos y los ingenieros de caminos. ;)

una elipse es una curva formada por los puntos que cumplen la siguiente condición: la suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos fijos y determinados llamados focos es una constante.

para que os hagáis una idea, una elipse es algo más general que una circunferencia. o, dicho de otro modo, una circunferencia es un caso particular de una elipse. en una circunferencia los dos focos coinciden en un punto, que es su centro. y la “suma de las distancias a los focos” sería el doble de su radio.

en una elipse hay tres magnitudes fundamentales, que las designaremos por letras: el semieje mayor (a); el semieje menor (b); y la distancia del centro de la elipse a cada uno de los focos (c).

usualmente se representa la elipse haciendo coincidir su eje mayor con el eje horizontal de coordenadas, y el eje menor con el eje vertical.

hemos dicho que en una elipse la suma de distancias de cualquier punto a los focos es una constante. si averiguamos el valor de esa constante para un punto determinado de la elipse, habremos solucionado el problema porque será el mismo para todos.

tomemos uno de los puntos de la elipse que coincide con el extremo de su eje mayor. la ventaja es que los focos están situados en ese mismo eje.

la distancia de ese punto extremo de la elipse al foco que tiene más próximo, según se observa en la figura, y teniendo en cuenta los parámetros que definen la elipse de los que hemos hablado antes, será a-c. y la distancia al foco más alejado, razonando de forma análoga, será a+c.

la suma de las dos distancias será: a-c+a+c=2·a. por tanto, la constante que buscábamos, el valor de la suma de distancias de cualquier punto de la elipse a los focos, coincide con la longitud del eje mayor de la elipse.

ahora nos gustaría saber cuál es la distancia de uno de los puntos de la elipse que coincide con el extremo de su eje menor a cada uno de los focos.

dada la simetría de la elipse, las distancias del ‘extremo superior’ a ambos focos serán iguales. la suma de las dos distancias será igual a la longitud del eje mayor, 2·a. por lo tanto, cada una de ellas será igual a la mitad de ese valor, es decir, al semieje a.

de ello se deduce una relación muy importante entre las magnitudes de la elipse. tal como refleja la figura, existe un triángulo rectángulo cuyos catetos son b (semieje menor) y c (distancia del centro a los focos), y cuya hipotenusa es a (semieje mayor).

por tanto, como en cualquier triángulo rectángulo, se cumplirá el teorema de pitágoras. en este caso, la suma de los cuadrados del semieje menor y la distancia del centro al foco (catetos) es igual al cuadrado del semieje mayor (hipotenusa).

volviendo al muro de la playa... ;) basándome en esta foto de uno de sus arcos, he marcado la elipse que se forma en su contorno más alejado, para que así se vea más clara. de ese modo en el interior de la elipse queda enmarcado el azul claro del mar y del cielo.

en realidad, el arco sólo es elíptico en su parte superior. es una semielipse que continúa en unas líneas rectas tangentes a la misma.

he indicado las magnitudes a,b,c sin su valor numérico. midiendo sobre el terreno una de ellas, estimando otra mediante el factor de escala del dibujo, y calculando la restante por la relación pitagórica entre ellas, ya las tendríamos. pero, francamente, no me apetece ir a la playa con un rollo de cinta métrica y ponerme allí a medir el arco. :P

os pongo una imagen más detallada del muro con su elipse acotada. por cierto, quizá os hayáis dado cuenta de que entre unas fotos y otras hay diferencias en cuanto a la nubosidad y en cuanto a la marea, y es que las hice en diferentes días. no me convencía cómo habían quedado, y al volver a la playa las repetía. :D