infinitos

he de reconocer que la chispa que despertó mi afición por las matemáticas no fue otra cosa que un ejercicio mal planteado que nos mandó hacer para casa el profesor en 7º de egb.

para entender qué problema había, qué pasaba con aquel ejercicio, antes vamos a repasar algunos conceptos...

para resolver una ecuación de primer grado, hay que separar los términos multiplicados por la incógnita x y los términos independientes. para ello, se pasan los ‘términos en x’ a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro.

cuando pasamos cualquier término al otro lado de la igualdad, le cambiamos el signo: si estaba sumando, lo pasamos restando; y si estaba restando, lo pasamos sumando.

aquí tenéis un ejemplo que me he inventado sobre la marcha. es un ejercicio didáctico para que se vea claro cómo se ponen juntos los términos en x a un lado y los términos independientes a otro, y cómo se despeja la incógnita.


al final queda una igualdad de la siguiente forma: una cantidad multiplicada por la incógnita x es igual a otra cantidad. se despeja x dividiendo el término independiente del lado derecho de la igualdad entre la cantidad que multiplica a x.

ahora ya puedo hablaros de aquel ejercicio mal planteado. se trataba de una ecuación de primer grado cuya resolución conducía al siguiente resultado: x era igual a 1 dividido entre 0 (1/0). a todos los que la hicimos bien nos desconcertó, pues nunca se nos había presentado el caso de dividir entre 0.

cómo puede ser que una ecuación de primer grado lleve a una división entre 0? pues bien, eso sucede cuando, tras juntar los términos en x y los términos independientes a uno y otro lado de la ecuación, la suma de los coeficientes que multiplican a x es 0, mientras que la suma de términos independientes es un número distinto de 0.

he preparado un ejemplo de ecuación en la que se obtiene al final la igualdad 0·x=1, de donde falsamente se deduce, despejando como se hace normalmente, que x es igual a 1/0. la idea sería la misma si en lugar de 1 fuera cualquier otro número dividido entre 0 (menos el propio 0, el caso 0/0 es diferente y lo veremos después).

dividir un número entre 0 es algo que desafía a la razón. 1/0 es la solución de una ecuación de la forma 0·x=1, como hemos dicho. pero eso es imposible, porque cualquier número multiplicado por 0 da como resultado 0. de hecho, esa ecuación lo que nos estaría diciendo es que 0 es igual a 1. es una contradicción.

y qué ocurre si no sólo son los coeficientes en x los que suman 0, sino también los términos independientes? he preparado un nuevo ejemplo en el que se da este caso. la ecuación, separando los términos en x y los términos independientes, nos conduce a la igualdad 0·x=0.

despejando de la forma habitual, diríamos que x es igual a 0/0. alguien podría decir que esta fracción equivale a 0, pues si el numerador es 0, da igual cuál sea el denominador. pero eso no es así. 0/0 es una indeterminación, puede tomar cualquier valor. porque 0/0 es la solución de la ecuación 0·x=0. cuál es el número que multiplicado por 0 da 0? cualquiera, hay infinitas soluciones. de hecho, esa igualdad equivale a decir que 0 es igual a 0, lo cual es totalmente cierto, pero no nos aporta nada nuevo.

estos casos límite en las ecuaciones me hacen recordar ciertos conceptos filosóficos. la ecuación que aparentemente da como resultado x=0/0 es una tautología, algo que a priori siempre es verdadero. por otro lado, la ecuación de la que aparentemente se obtiene x=1/0 es una contradicción, nunca se puede cumplir. como habría dicho wittgenstein, la primera corresponde a cualquier estado de cosas, y la segunda no corresponde a ningún estado de cosas.

se dice que 1/0 (el numerador puede ser 1 o cualquier otro número distinto de 0) es infinito. en sentido estricto, eso es incorrecto: 1/0 no es nada, es un sinsentido. ahora bien, otra cosa es dividir 1 entre un número que se aproxime a 0. cuanto más pequeño sea el denominador de una fracción, mayor se hará el cociente. en la siguiente tabla se muestra el valor que va tomando el resultado de dividir 1 entre valores cada vez más pequeños.

x----------------1/x
1..................1
0.1...............10
0.01.............100
0.001..........1,000
0.0001........10,000
0.00001......100,000
0.000001...1,000,000

como el valor de la fracción aumenta cuando el numerador se mantiene y el denominador se va aproximando a 0, uno se siente tentado de decir que cuando el denominador llega a ser 0, el resultado de la división es infinito. podemos decirlo de manera ‘informal’, para entendernos, pero siempre teniendo presente que el infinito no es un número y por tanto no se puede tratar como tal.

si se representa la función y=1/x, es fácil observar que en x=0 diverge totalmente. es más: así como para valores de x cercanos a 0 y positivos la función tiende a infinito, para valores próximos a 0 y negativos, la función tiende al infinito con signo negativo, ‘menos infinito’, para entendernos. pero, para las cosas que estoy contando en esta entrada, prefiero centrarme en los infinitos positivos.

en esta gráfica he representado la función 1/x en un entorno relativamente cercano a 0, al origen de coordenadas. pero ya es suficiente para observar la divergencia cuando x se acerca a 0.

el hecho de que 1/0 represente una idea parecida a la del infinito explica la ecuación contradictoria que se obtenía: 0·x=1. cualquier número, por grande que sea, si se multiplica por 0 se obtiene como resultado 0. pero el infinito, de existir tal concepto, sería algo tan grande y tan inconmensurable que al multiplicarlo por 0 todavía quedaría una cantidad distinta de 0.

hay otra manera de verlo: imaginemos, por ejemplo, el número de moléculas de agua (numerador) en un determinado volumen de agua (denominador). si tomamos un volumen visible a nivel macroscópico, habrá miles de millones de moléculas. a medida que disminuimos el volumen que tomamos como muestra, habrá menos moléculas, aunque seguirá habiendo muchas. si llegamos a un nivel microscópico, el número de moléculas ya empezará a ser un poco más concebible para nuestra mente. y si reducimos tanto el volumen de la muestra que lo hacemos 0, cuántas moléculas habrá? pues habrá 0 moléculas. por muy grande que sea la densidad de moléculas por volumen, en un espacio nulo no habrá ninguna.

la fracción 1/0 nos estaría diciendo, siguiendo con el mismo ejemplo, que para un volumen nulo hay una molécula, lo cual es imposible y carece de sentido en la realidad. el infinito, de existir, sería algo tan grande que aunque se redujera al mínimo la extensión en la que se está repartiendo, seguiría quedando cierta cantidad distinta de 0 para esa extensión nula.

y este mismo ejemplo, ya puestos, también sirve para mostrar el carácter indeterminado de la fracción 0/0. en un volumen 0 hay 0 moléculas. eso es una obviedad que siempre se cumple y no nos da ninguna información sobre la densidad de moléculas por volumen, en este caso. ya sabemos todos que en ‘la nada’ no hay nada.

en fin, a estas cosas les daba vueltas y más vueltas cuando tenía 13-14 años. siempre me han gustado los casos límite, en todo. :D a veces un caso límite es lo que despierta curiosidad por un tema...