raíces cuadradas

la niña a la que doy clases de mates se sorprendió en cierta ocasión en que le comenté que hay números con infinitas cifras decimales que además nunca se repiten ni siguen ninguna pauta. es el caso de números muy importantes en matemáticas, como √2, π, e (del número e os hablaré algún día) y muchos otros.

los números que tienen infinitas cifras decimales que nunca forman periodo son los llamados números irracionales. se denominan así en contraposición a los números racionales, cuyas cifras decimales forman un periodo más o menos simple, y que se pueden expresar en forma de fracción.

le explicaba a mi alumna que los números enteros, o bien tienen raíz cuadrada exacta, o bien su raíz cuadrada será uno de esos números con infinitos decimales que no se repiten. no hay término medio. le parecía muy curioso, y la verdad es que lo es...

los números irracionales aparecen como solución de problemas matemáticos cuyo planteamiento es sencillo. y sin embargo, nuestro sistema de numeración no permite expresarlos con una cadena finita de decimales. siempre nos veremos obligados a aproximarnos a ellos, tanto más cuantos más decimales tomemos.

veamos algunos ejemplos de la importancia que tienen en geometría las raíces cuadradas de algunos números enteros...

la raíz cuadrada de 2 es la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1 unidad. o, dicho de manera más general, la raíz de 2 es el factor de proporcionalidad entre la diagonal de cualquier cuadrado y su lado. se puede demostrar fácilmente aplicando el teorema de pitágoras.

un rectángulo cuyo lado mayor es el lado menor multiplicado por la raíz de 2, cumplirá la propiedad de que al dividirlo en dos rectángulos iguales por la mediatriz de su lado mayor, los lados de los dos rectángulos obtenidos tendrán las mismas proporciones que los lados del rectángulo inicial.

los folios din a4 tienen estas proporciones. si os dais cuenta, al dividir un folio en dos cuartillas, éstas tendrán la misma proporción ancho:largo que el folio.

la raíz de 3 es la diagonal de un cubo cuya arista mide 1 unidad. si cortamos el cubo por un plano que pase por las diagonales de dos caras paralelas, obtendremos un rectángulo cuyo lado menor es 1 y cuyo lado mayor es raíz de 2. y es que, como explicábamos antes, la raíz de 2 es la diagonal de un cuadrado de lado 1. y las caras de un cubo son cuadradas.

la diagonal del cubo será la diagonal de ese rectángulo, y su longitud se calcula mediante el teorema de pitágoras.

la altura de un triángulo equilátero de lado 1 unidad es la mitad de la raíz de 3. al trazar la altura, el triángulo equilátero quedará dividido en dos triángulos rectángulos cuyo cateto mayor es la altura que queremos hallar. nuevamente lo hacemos aplicando el teorema de pitágoras.

la raíz de 5 es la diagonal de un rectángulo de lados 1 y 2 unidades. Para representar gráficamente el número áureo, cuyo valor es (1+√5)/2, se suele dibujar un rectángulo de proporciones 1:2 como construcción auxiliar.

hablando de lo cual, podemos terminar con el rectángulo cuyos lados tienen la proporción áurea, 1:Φ. si dentro de este rectángulo desgajamos un cuadrado cuyo lado sea igual al lado menor, el rectángulo restante también tendrá la proporción áurea.

si se calcula la proporción entre los lados del nuevo rectángulo formado, haciendo una serie de operaciones se comprueba que el resultado es el número áureo, Φ.