papel de burbujas

hace poco me fijé en el papel de burbujas que había en el interior de un paquete. me di cuenta de que las burbujas formaban algo similar a un apilamiento de circunferencias tangentes entre sí. y dicho apilamiento tenía una estructura hexagonal, similar a la de una colmena.

la razón es que esta estructura se forma poniendo dos circunferencias tangentes entre sí, y una tercera tangente a ambas. de este modo, los centros de las tres circunferencias se pueden ver como los vértices de un triángulo equilátero cuyo lado sería el doble del radio de dichas circunferencias. y como esa estructura se puede extender indefinidamente en las dos direcciones del plano, se forman más de esos triángulos equiláteros ficticios. y cuando el plano queda ocupado sin dejar huecos por triángulos equiláteros yuxtapuestos, éstos a su vez forman hexágonos regulares.

una manera de dibujar circunferencias tangentes entre sí, similares a las burbujas del papel de embalaje, es la siguiente:

construimos un triángulo equilátero: trazamos un lado de la longitud que se desee: (1). desde los extremos de ese lado, trazamos con el compás dos arcos de radio igual al lado: (2). unimos los extremos del lado inicial con el punto de corte de esos arcos, y ya tenemos el triángulo: (3) y (4).

a continuación, trazamos la mediatriz de uno cualquiera de los lados. hay muchas maneras, dada la simetría del triángulo equilátero. una de ellas es trazar dos arcos desde los extremos de un lado de la misma manera que lo hemos hecho antes: (5). unimos el punto de corte de esos arcos con el vértice opuesto: (6).

al trazar la mediatriz hemos partido por la mitad el lado del triángulo. la mitad de dicho lado será el radio de nuestras circunferencias. siempre será el mismo, de manera que a partir de ahora el problema se reducirá a buscar los centros. ahora ya podemos empezar a trazar las tres primeras circunferencias, desde los vértices de nuestro triángulo: (7), (8) y (9).

los centros de tres circunferencias tangentes entre sí siempre formarán un triángulo equilátero. por tanto, desde los extremos de la línea que une los centros dos circunferencias que ya tengamos dibujadas trazaremos dos arcos que se corten con radio igual al lado del triángulo. cada vez que hagamos eso, obtendremos otro centro y podremos trazar otra circunferencia más. se puede empezar a hacerlo desde los lados del triángulo que forman los centros de las tres primeras circunferencias que hemos dibujado: (10), (11) y (12), y después continuar en el orden que se quiera.

llenar una hoja con apilamientos de circunferencias relaja. eso sí, hay que tener en cuenta que las imprecisiones de los instrumentos de dibujo pueden causar que las circunferencias no sean exactamente tangentes entre sí. sobre todo a medida que te alejas de donde has empezado a dibujarlas.

si alguien no consigue relajarse así, siempre queda el método de explotar las burbujas.