aprovechamiento del espacio

cuando se apilan objetos de sección circular, como puedan ser latas de conserva, inevitablemente quedarán huecos. este problema equivale al de llenar una superficie plana con circunferencias tangentes entre sí. siempre habrá resquicios que no se puedan ocupar.

vamos a comparar dos disposiciones diferentes que pueden adoptar las circunferencias...

por un lado, se pueden colocar de tal manera que cada circunferencia tenga cuatro ‘vecinas’ tangentes a ella: una a la derecha, otra a la izquierda, otra encima y otra debajo. los centros de las circunferencias superior, central e inferior están alineados, al igual que los de las circunferencias izquierda, central y derecha.

se observa que las líneas que van uniendo los centros de todas las circunferencias forman una red de celda cuadrada. el lado de dicho cuadrado es igual al doble del radio de las circunferencias.

y por otro lado, se pueden disponer formando una estructura similar a la del papel de burbujas. se colocan dos circunferencias tangentes entre sí, y una tercera tangente a ambas. sus centros serán los vértices de un triángulo equilátero. dicho triángulo será la celda unitaria de la red formada al unir los centros de las circunferencias, y su lado será igual al doble del radio de dichas circunferencias.

se intuye fácilmente que en esta estructura se aprovecha más el espacio que en la anterior. los huecos son más pequeños, y además ahora cada circunferencia tiene seis ‘vecinas’ tangentes a ella.

podemos calcular exactamente el porcentaje de aprovechamiento del espacio en estas dos estructuras. para ello basta con fijarnos en una celda unitaria, que es el patrón que se va repitiendo en las dos direcciones del plano. el porcentaje obtenido se podrá extrapolar a toda la red.

para el primer tipo de red, la celda es un cuadrado en cuyo interior hay cuatro cuartos de círculo. llamaremos R al radio, y por tanto el lado del cuadrado será 2·R.

el porcentaje de espacio lleno será igual al cociente entre el área de esos cuatro cuartos de círculo y el área del cuadrado base, y todo ello multiplicado por 100. el resultado es un 78.54%.

y para el otro tipo de red, la celda será un triángulo equilátero que contiene tres sextas partes de un círculo. nuevamente llamamos R al radio, y el lado del triángulo será el doble, 2·R.

el área del un triángulo, como sabemos, es igual a la mitad del producto de su base por su altura. en un triángulo equilátero, la altura es igual al lado multiplicado por el coseno de 30º, que es √3/2.

así, el porcentaje de espacio aprovechado será igual al área de los tres sextos de círculo dividida entre el área del triángulo que los contiene, y todo ello multiplicado por 100. obtenemos como resultado un 90.69%.

como vemos, el segundo tipo de estructura es mucho más eficiente. y más estable desde el punto de vista físico. si intentáramos apilar en una caja latas o botellas o cualquier objeto de sección circular de la primera manera que hemos visto, tenderían a colocarse de la segunda manera, acomodándose entre cada dos piezas circulares tangentes entre sí de la fila inmediatamente inferior.

la estructura de red cuadrada, de hecho, es una situación de equilibrio inestable. los centros de gravedad de las piezas apiladas se encuentran en su posición más alta. la energía potencial es máxima. todo lo contrario que en la red triangular, en la cual la energía potencial es mínima al encontrarse los centros de gravedad en la posición más baja. es lo que se denomina un equilibrio estable.

y cuando son botellas lo que estamos apilando, estas consideraciones hay que tenerlas muy presentes, para que no se nos rompan!