interés

lo que os voy a contar es un supuesto que viene en muchos libros de matemáticas, aunque yo le he dado mi toque personal...

al recibir un préstamo por un importe C₀, al final de la vida del mismo hay que devolver dicho importe más los intereses. el valor de los intereses será igual al producto del montante inicial por el tipo de interés: C₀·i. por tanto, el montante final a devolver será igual a la suma de C₀ y C₀·i, es decir, C₀·(1+i).

el tiempo durante el cual disponemos del préstamo se puede dividir en n períodos. por ejemplo, un año se puede dividir en 12 meses, en 4 trimestres, o de cualquier otra manera.

se puede calcular la cantidad que debemos al final de cada período, aunque no tengamos que pagar hasta el final de la vida del préstamo. a estas cantidades las llamaremos C₁, C₂, C₃,... hasta C_n, siendo n el número de períodos.

en capitalización simple, el tipo de interés de cada período es igual al tipo de interés durante la vida del préstamo dividido entre el número de períodos: i_n=i/n. se puede comprobar que el montante final será C₀·(1+i), como cabía esperar.

en capitalización compuesta, los intereses acumulados en cada período se incorporan al montante, y sobre el total de capital más intereses se calcularán los nuevos intereses en sucesivos períodos.

el interés de cada período se calcula a través de esta ecuación: (1+i_n)ⁿ=(1+i). despejando, i_n=(1+i)^1/n–1. el interés del período en capitalización compuesta será siempre menor que el correspondiente en capitalización simple, como se puede observar en la siguiente tabla comparativa. los valores se han calculado para un tipo de interés unitario.

    n---cap.simple---cap.compuesta

 1---1.00000000---1.00000000

 2---0.50000000---0.41421356

 3---0.33333333---0.25992105

 4---0.25000000---0.18920712

 5---0.20000000---0.14869836

 6---0.16666667---0.12246205

 7---0.14285714---0.10408951

 8---0.12500000---0.09050773

 9---0.11111111---0.08008974

10---0.10000000---0.07177356

sin embargo, el montante final será C₀·(1+i_n)ⁿ, que por lo que explicábamos antes es igual a C₀·(1+i). como vemos, no depende del número de períodos en que dividamos la vida del préstamo.

imaginemos a un prestamista tan usurero que aplica lo peor de las dos clases de capitalización: en cada período aplica el tipo de interés de la capitalización simple, pero al mismo tiempo los intereses se van incorporando al montante, como en capitalización compuesta.

no contento con esto, divide la vida del préstamo en el máximo número de períodos, de tal manera que se generen intereses a cada segundo si hace falta.

el montante acumulado tras cada período según el método de este usurero se calcularía como se indica. observamos que esta vez el montante final sí depende del número de períodos. por eso en principio le convendrá, como decíamos, subdividir la vida del préstamo tanto como sea posible.

para simplificar, supongamos que el importe del préstamo es de 1 unidad monetaria (podemos hablar de miles de euros o lo que queramos) y que el tipo de interés aplicado es del 100%: por cada euro prestado tendré que devolver ese euro y otro más. así pues, el montante final será igual a (1+1/n)ⁿ. el techo que puede alcanzar esa cantidad estará determinado por el límite de la citada expresión cuando n tiende a infinito.

nuestro usurero se pone a calcular a cuánto asciende el montante final según aumenta el número de períodos en los cuales se van generando intereses.

    n---montante final

1---2.00000000

2---2.25000000

3---2.37037037

4---2.44140625

5---2.48832000

6---2.52162637

7---2.54649970

8---2.56578451

9---2.58117479

como se está incrementando de manera muy lenta, decide contar el número de períodos de diez en diez.

10---2.59374246

20---2.65329771

30---2.67431878

40---2.68506384

50---2.69158803

60---2.69597014

70---2.69911637

80---2.70148494

90---2.70333246

esto no termina de despegar, piensa. ahora pasa a contar de cien en cien.

100---2.70481383

200---2.71151712

300---2.71376516

400---2.71489174

500---2.71556852

600---2.71602005

700---2.71634274

800---2.71658485

900---2.71677321

el hombre está totalmente desconcertado. ahora cuenta de mil en mil, pero ya se ha dado cuenta de que va a ser inútil.

 1000---2.71692393

 2000---2.71760257

 3000---2.71782889

 4000---2.71794212

 5000---2.71801005

 6000---2.71805554

 7000---2.71808764

 8000---2.71811196

 9000---2.71813080

10000---2.71814593

nuestro prestamista pensaba que iba a hacerse rico, pero por mucho que subdivide la vida del préstamo hasta la milésima de segundo, su ganancia no supera en una gran cantidad la que habría conseguido aplicando capitalización simple o compuesta. el montante final se acerca asintóticamente a una cantidad que viene a ser 2.718...

no nos resulta familiar este número? pues sí, se trata del número e, del que hablé dos entradas más abajo.

así pues, el límite cuando n tiende a infinito de (1+1/n)ⁿes el número e, y este supuesto de matemáticas financieras así lo ilustra.

por cierto, todas las cantidades las he calculado una por una con mi calculadora y las he transcrito manualmente, con objeto de que se apreciara el lento crecimiento de esta expresión según aumentábamos n. puede haberse colado más de una cifra errónea en el proceso. si queréis, podéis calcularlas todas y comprobarlas, aunque algo me dice que no os atrae mucho esa idea y preferís confiar en que están bien. :D