insomnio

hace unos años leí en la sección de ciencia de un periódico un artículo sobre el último teorema de fermat. dicho teorema decía así: la ecuación xⁿ+yⁿ=zⁿno tiene soluciones {x,y,z} enteras no nulas para n>2.

en el artículo creo recordar que se hablaba sobre las demostraciones que habían propuesto diferentes matemáticos. sin embargo, ese teorema no es precisamente de ayer: fue planteado por pierre de fermat en 1637.

ignoro si realmente fue el último teorema formulado por fermat. me extraña un poco porque, consultando su biografía, aún le quedaba mucha vida por delante. en cualquier caso, me gusta la denominación de último teorema de fermat que se le ha dado. suena enigmático, podría ser el título de una novela de misterio...

la ecuación que el teorema plantea, obviamente tiene infinitas soluciones para n=1. pasamos directamente al caso de n=2, que es más interesante: x²+y²=z².

esta ecuación nos recuerda al teorema de pitágoras. en esta entrada explicábamos que existen infinitos triángulos rectángulos en los que tanto los catetos (x,y) como la hipotenusa (z) son enteros:

3²+4²=5²

5²+12²=13²

7²+24²=25²

9²+40²=41²

...

el que la suma de dos números enteros elevados al cuadrado dé como resultado otro número entero elevado al cuadrado, se puede visualizar geométricamente de la siguiente manera: podemos tomar dos cuadrados de diferente tamaño, desmenuzarlos en pequeños ‘cuadraditos’ de lado unitario, juntarlos todos y formar con ellos un nuevo cuadrado de mayor tamaño que los dos cuadrados iniciales.

a partir de n=3, la ecuación ya no se cumple. no existirán valores enteros de {x,y,z} para los cuales se cumpla que x³+y³=z³. resulta muy curioso que la suma de dos números enteros elevados al cubo nunca pueda dar como resultado otro número entero elevado al cubo.

geométricamente lo podemos ver así: tomamos dos cubos de diferente tamaño, los deshacemos en ‘cubitos’ de arista unidad y los mezclamos todos. con esos ‘cubitos’, sin añadir más y sin que sobre ninguno, nunca podremos formar un nuevo cubo.