potencias de 2

hay una historieta de los pitufos en la que son capturados por gargamel, todos ellos excepto papá pitufo, que logra escapar. por la noche acude a rescatarles, provisto de herramientas para romper los grilletes que les apresan.

me he fijado en una viñeta en que le pide a uno de los pitufos que le ayude a liberar a los demás una vez que él ya esté libre.

en una situación en la que alguien acudiera al rescate de un grupo de personas maniatadas, y cada persona liberada se incorporase a la tarea de liberar a las demás, el número de personas libres aumentaría de forma exponencial.

inicialmente sólo está libre de ataduras el que llega al rescate. al liberar a uno de los que están apresados, ya son dos. a continuación, ambos liberan a otros dos, uno cada uno, y ya son cuatro. los cuatro liberan a uno más cada uno, con lo cual ya hay ocho libres. esos ocho liberan a uno más cada uno, y ya son dieciséis libres. y así sucesivamente. lógicamente trabajan más los que antes han sido liberados.

como vemos, el patrón que sigue el número de individuos liberados es el de las potencias de 2: 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵, 2⁶, 2⁷, 2⁸... o lo que es igual: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256...

veamos cómo se aplicaría esto al caso de los pitufos. supongamos que se tarda un minuto en romper cada grillete. es un tiempo generoso, sesenta segundos de reloj golpeando con el martillo y el cincel dan para mucho. da tiempo incluso a que el pitufo recién liberado estire un poco las piernas antes de ponerse a liberar a otros.

dado que los pitufos son 100 en total, el tiempo que tardarán en quedar libres todos estará entre 6 y 7 minutos, ya que 2⁶=64 y 2⁷=128. tiene que estar entre medias.

ese tiempo se puede calcular de manera exacta:

2^x = 100

x = log100/log2 = 6.643856...min = 6 min 39 seg

en realidad, es difícil imaginar que todos los pitufos liberados dispongan al mismo tiempo de herramientas para romper los grilletes del resto. pero si así fuera, este procedimiento sería sin duda muy eficiente.

y lo es más aún si el número de prisioneros aumenta. en algo más de 21 minutos se podría liberar a toda la población de madrid. en poco más de 25 minutos, a toda la población de españa. en algo menos de 30 minutos, a toda la población de europa. entre 32 y 33 minutos, a toda la población actual del mundo. y en aproximadamente 47 minutos, a la población estimada del mundo en toda la historia.

pero en realidad esto es un supuesto muy idealizado, en el que se ignoran factores como el entorpecimiento mutuo entre las personas que están liberando a los demás, o el cansancio de los que llevan más tiempo aplicados a esa tarea.

desde el punto de vista matemático, este problema es equivalente al del tablero de ajedrez y los granos de trigo.

cuenta la leyenda que un rey indio quiso premiar a un sabio visir por haber inventado el juego del ajedrez. le daría al visir lo que pidiera. entonces éste le pidió al rey que le pusiera un grano de trigo en la primera casilla de un tablero de ajedrez, dos granos de trigo en la segunda casilla, cuatro granos en la tercera casilla, ocho granos en la cuarta casilla... y así sucesivamente, hasta llegar a la última. en cada casilla, el doble de granos de trigo que en la anterior.

parece poca cosa, pero a medida que se avanza en el tablero, el número de granos de trigo que hay que poner en cada casilla empieza a asustar. en la última casilla habría que poner 2⁶³ granos, que son 9,223,372,036,854,775,808, del orden de 9 trillones de granos. eso es mucho trigo, creedme. no cabría ni en un tablero de ajedrez de tamaño natural.

hay que aclarar que el exponente al que hay que elevar 2 en cada casilla es igual al número de la casilla menos una unidad. en la primera, 2⁰ (que es 1). en la segunda, 2¹. en la tercera, 2². en la cuarta, 2³. ...y así sucesivamente hasta la última, 2⁶³. de ahí que, aunque la última casilla sea la nº64, el exponente que corresponde es 63.

para calcular el total de granos de trigo en todas las casillas utilizamos la fórmula que nos da la suma de la progresión geométrica 2⁰+2¹+2²+2³+2⁴+...2ⁿ. esa suma es igual a 2ⁿ⁺¹-1. en el caso que nos ocupa, para n=63, el número total de granos es 2⁶⁴-1, lo que da una cantidad de 18,446,744,073,709,551,615: algo más de 18 trillones de granos.

como no tengo en casa trigo en grano para medir empíricamente cuánto pesa, lo he hecho con arroz, que es similar en volumen y en densidad. pensad que un paquete de un kilo de arroz tiene un volumen parecido al de un kilo de harina de trigo. claro que la harina es más compacta que el arroz, ya que éste no llena por completo el espacio: quedan huecos entre los granos. en el caso de la harina, como las partículas son mucho más finas, los intersticios entre ellas sólo son visibles a nivel microscópico.

en cualquier caso, podemos afirmar que en 30 gr. de arroz hay unos 1500 granos. por regla de tres, 1.8*10¹⁹ granos pesarán 360,000 millones de toneladas.

con 360,000 millones de toneladas de trigo se pueden fabricar muchas barras de pan y muchas galletas. y con la misma cantidad de arroz se pueden hacer muchas paellas.

aquí tenéis los valores exactos de la exponencial de 2. valen para los dos supuestos que hemos visto. n puede ser el contador de las casillas del tablero de ajedrez o de los minutos que transcurren a medida que son liberados los prisioneros. y 2ⁿ puede ser el número de granos en cada casilla o el número de prisioneros liberados.

 n..........................2ⁿ

 0---------------------------1

 1---------------------------2

 2---------------------------4

 3---------------------------8

 4--------------------------16

 5--------------------------32

 6--------------------------64

 7-------------------------128

 8-------------------------256

 9-------------------------512

10-----------------------1,024

11-----------------------2,048

12-----------------------4,096

13-----------------------8,192

14----------------------16,384

15----------------------32,768

16----------------------65,536

17---------------------131,072

18---------------------262,144

19---------------------524,288

20-------------------1,048,576

21-------------------2,097,152

22-------------------4,194,304

23-------------------8,388,608

24------------------16,777,216

25------------------33,554,432

26------------------67,108,864

27-----------------134,217,728

28-----------------268,435,456

29-----------------536,870,912

30---------------1,073,741,824

31---------------2,147,483,648

32---------------4,294,967,296

33---------------8,589,934,592

34--------------17,179,869,184

35--------------34,359,738,368

36--------------68,719,476,736

37-------------137,438,953,472

38-------------274,877,906,944

39-------------549,755,813,888

40-----------1,099,511,627,776

41-----------2,199,023,255,552

42-----------4,398,046,511,104

43-----------8,796,093,022,208

44----------17,592,186,044,416

45----------35,184,372,088,832

46----------70,368,744,177,664

47---------140,737,488,355,328

48---------281,474,976,710,656

49---------562,949,953,421,312

50-------1,125,899,906,842,624

51-------2,251,799,813,685,248

52-------4,503,599,627,370,496

53-------9,007,199,254,740,992

54------18,014,398,509,481,984

55------36,028,797,018,963,968

56------72,057,594,037,927,936

57-----144,115,188,075,855,872

58-----288,230,376,151,711,744

59-----576,460,752,303,423,488

60---1,152,921,504,606,846,976

61---2,305,843,009,213,693,952

62---4,611,686,018,427,387,904

63---9,223,372,036,854,775,808

pasamos a otro asunto: mis amigas wuapibego, blas y las hermanas elanor y arien me han concedido dos bonitos premios blogueros. muchas gracias a todas por acordaros de mí!! :) en cada uno de ellos hay un cuestionario que procedo a responder.

premio 1

7 libros favoritos:

la máquina del tiempo (herbert george wells)

el extraño caso del dr.jekyll y mr.hyde (robert louis stevenson)

de la tierra a la luna / alrededor de la luna (julio verne)

las aventuras de sherlock holmes (arthur conan doyle)

momo (michael ende)

la leyenda del rey errante (laura gallego)

los planetas (dava sobel)

7 películas favoritas:

ben hur

quo vadis?

con la muerte en los talones

los pájaros

repulsión

cantando bajo la lluvia

mary poppins

Contestar 3 preguntas:

1. ¿Cual es tu sección favorita de los blogs? recuerdos de la infancia

2. ¿Cuantas paginas tenia el ultimo libro que has leído? 528

3. ¿Cual es la mejor adaptación de cine que has visto? quo vadis

premio 2

Contestar a estas preguntas:

1. ¿Que es lo que más te gusta de la vida?

encontrar cada día nuevas cosas por las que ilusionarse.

2.  Compartir un mensaje:

es muy importante la vocación, hacer aquellas cosas con las que nos sentimos “como en casa”.

bueno, muchas de las blogueras a quienes leo habitualmente ya han recibido estos premios. yo se los voy a conceder a tres chicas soñadoras que, además, seguro que darán respuestas interesantes a las preguntas: wendy, princesa nadie y mari cari.