cobre

cuando nos encontramos una moneda de cobre que se le ha caído a alguien, podemos sentirnos tentados de decir la típica gracia: “esta moneda hay que guardarla, que luego genera intereses!”. :P

las monedas de 1, 2 y 5 céntimos se diferencian por su tamaño, y yo sólo sé calibrarlo comparativamente. es decir, veo una de esas monedas aislada, y dudo: es de 1 o de 2? es de 2 o de 5? siempre tengo que mirarlo.

estaría genial si esas monedillas las fuéramos metiendo en una hucha, y de manera mágica generasen intereses. esta hucha con forma de autobús inglés me la regalaron, y se ve en la foto mía que puse varias entradas más abajo...

vamos a suponer que depositamos monedas periódicamente, y al cabo de cierto tiempo las sacamos de la hucha con sus intereses incorporados. esta situación, en matemáticas financieras, equivale a calcular el valor final de una renta.

para simplificar supondremos que todas las monedas son de un céntimo. a cada período que pasa, su valor se multiplicará por 1+i, siendo i el tipo de interés. por eso, cuanto antes se haya depositado una moneda, mayores serán sus intereses acumulados.

esta cantidad se calcula utilizando la fórmula que nos da la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica. pero puede que no nos acordemos de cómo era esa fórmula. así que haremos otra cosa...

primero vamos a hacer una sencilla división de polinomios: 1entre 1–x.

como vemos, el cociente es justamente lo que buscamos: la suma de los primeros términos de una progresión geométrica. nos damos cuenta, además, de que el resto siempre está elevado a un grado más que el último término que hemos añadido al cociente.

así pues, despejaremos el cociente utilizando aquella conocida regla que decía...

hemos expresado esta suma de términos de una manera mucho más fácil de manejar. ahora sustituimos x por 1+i, y obtenemos la fórmula del valor final de nuestra renta.

y ya sólo nos queda que alguien invente esa hucha mágica... ;)