pitágoras

he mencionado en muchas ocasiones el teorema de pitágoras, pero nunca había escrito una entrada sobre su formulación y demostración. el famoso teorema dice así: en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

un triángulo rectángulo es aquél en el cual uno de los ángulos es recto. los catetos son los lados que forman entre sí ese ángulo recto. la hipotenusa es el lado restante, y será siempre el más largo de los tres.

en cualquier triángulo, los tres ángulos suman siempre 180º. dado que en un triángulo rectángulo uno de los ángulos es de 90º, los otros dos ángulos deberán sumar entre sí 90º, es decir, serán complementarios. llamaremos α y β a los ángulos que forman, respectivamente, el cateto menor y el cateto mayor con la hipotenusa.

se denomina altura de un triángulo a la línea trazada desde un vértice que corta perpendicularmente al lado opuesto. para demostrar el teorema de pitágoras, trazaremos una altura desde el vértice donde se forma el ángulo recto, la cual cortará perpendicularmente a la hipotenusa.

de esa manera, hemos dividido nuestro triángulo original -de color verde- en dos triángulos yuxtapuestos -de colores rosa y azul-. estos dos triángulos tienen la particularidad de ser semejantes entre sí, y ser a su vez semejantes al triángulo original.

qué quiere decir que dos triángulos sean semejantes entre sí? quiere decir que sus lados guardan la misma proporción, como si fueran dos copias a diferente escala del mismo triángulo. eso implica que sus ángulos deberán ser iguales; pensadlo...

al trazar esa altura sobre el triángulo del que partíamos, hemos obtenido dos triángulos rectángulos. en el rosa, el ángulo α nos es conocido y no ha sido modificado al realizar la división. y como se trata de un triángulo rectángulo, el otro ángulo no-recto ha de ser β, complementario de α. análogamente, en el triángulo azul conocemos a priori el ángulo β, y como también es un triángulo rectángulo, el ángulo que nos falta por conocer debe ser su complementario, α.

ahora ya tenemos claro que los tres triángulos, el pequeño, el grande y la unión de ambos, son semejantes. por tanto, sus lados seguirán las mismas proporciones y podremos establecer una serie de reglas de tres con ellos.

primero, igualaremos la proporción entre el cateto menor y la hipotenusa para los triángulos rosa y azul con esa misma proporción para el triángulo verde. de esa manera podremos expresar las distancias que hemos llamado h y x en función de los lados a, b y c de nuestro triángulo original.

a continuación, igualaremos la proporción entre el cateto mayor y la hipotenusa para los triángulos rosa y azul. sustituiremos h y x por las expresiones que hemos obtenido en el paso anterior.

ya tenemos una igualdad en función de a, b y c, y tan sólo nos queda hacer unas sencillas operaciones y despejar. hemos llegado a donde queríamos: la suma de los cuadrados de los catetos (a²+b²) es igual al cuadrado de la hipotenusa (c²).

se ha descubierto que el teorema de pitágoras ya había sido formulado con anterioridad en la antigua india, por un matemático de nombre baudhayana que vivió alrededor del año 800 a.C. esto sirve como ejemplo de que las más antiguas manifestaciones científicas y culturales no provienen solamente de los pueblos de alrededor del mediterráneo.

siendo así, el teorema de pitágoras debería llamarse teorema de baudhayana. aunque creo que nos costaría acostumbrarnos... en cualquier caso, esto lo leí en un libro de historia de las matemáticas que me trajeron los reyes el año pasado. veremos qué tal se portan este año.

feliz noche de reyes para tod@s!!