signos

esta viñeta de la aventura ‘periplo búlgaro’ de superlópez podría servir como ejemplo de cómo funcionan los signos negativos en matemáticas. al igual que el antídoto contra el veneno que hace volverse la piel verde, los signos menos actúan siempre en sentido contrario. si van delante de algo que es positivo, lo hacen negativo. si van delante de algo negativo, lo vuelven otra vez positivo.

sin embargo, las implicaciones de los signos en matemáticas no siempre son tan sencillas...

pensemos en la curva definida por la ecuación (x/a)²+(y/b)²=1. se trata de una elipse de semiejes a y b.

está dibujada a mano alzada, reconozco que de manera un poco chapucera. se pueden marcar puntos por donde pasa la elipse, y cuantos más tengas, con mayor precisión la podrás trazar.

la elipse se define como la curva formada por los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. sabiendo esto, desde un foco se puede trazar un arco de circunferencia del radio que queramos, llamémoslo R. desde el otro foco se traza otro arco de radio 2a–R, y el punto de corte será un punto de la elipse. y hecho eso, aprovechamos para hallar los simétricos de ese punto respecto a los ejes horizontal y vertical.

lo que pasa es que hacer eso es un poco pesado y lioso. se te llena el dibujo de arcos de circunferencia, y al final no sabes cuál es cuál. con los cuatro vértices y los otros cuatro puntos hallados aplicando una vez ese procedimiento, ya nos da para tener una aproximación de la elipse.

ahora supongamos que cambiamos el signo del segundo término de la ecuación de la elipse, de manera que se transformará en (x/a)²–(y/b)²=1.

esto ya no es una elipse, de hecho es otra curva que no puede ser más diferente. se trata de una hipérbola. es una curva con dos ramas simétricas que a medida que se alejan del centro se van aproximando a dos rectas llamadas asíntotas.

a es ahora la mitad de la distancia entre los vértices de la hipérbola. la pendiente de las asíntotas vendrá dada por el cociente b/a. si es menor que 1, las ramas de la hipérbola serán más cerradas, y si es mayor que 1, serán más abiertas. si es igual a 1, se denomina hipérbola equilátera.

dado que una circunferencia es una elipse con los dos semiejes a y b iguales, podríamos decir que una hipérbola equilátera, en la cual también se cumple que a=b, en cierto modo es la figura opuesta a una circunferencia.

una hipérbola es la curva formada por los puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante. los focos son los puntos marcados en rojo. la definición es análoga a la de la elipse, pero la curva obtenida es totalmente distinta.

para encontrar puntos por donde pasa la hipérbola, hay que hacer algo parecido a lo que hacíamos con la elipse. desde un foco trazamos con el compás un arco de un radio cualquiera R, y desde el otro foco trazamos otro arco de radio 2a+R. por el punto de corte pasa la hipérbola. y de paso, marcamos los simétricos de ese punto respecto a los ejes.

las dos ramas de la hipérbola se pueden aproximar sabiendo que pasan por los vértices y por los puntos adicionales que hemos encontrado, y que cada vez se pegan más a las asíntotas.

veamos ahora qué ocurre si cambiamos el signo del primer término de la ecuación de la elipse, con lo que pasará a ser –(x/a)²+(y/b)²=1.

lo que obtenemos es otra hipérbola en la cual las dos ramas son imágenes especulares respecto al eje horizontal, mientras que en el caso anterior lo eran respecto al eje vertical. y si antes las ramas eran más bien cerradas, ahora al contrario, son más abiertas.

los parámetros a y b han intercambiado los papeles. ahora b es la mitad de la distancia entre los vértices, y el cociente a/b es el que define la forma de la las ramas de la hipérbola: menor que 1, cerradas; mayor que 1, abiertas.

bien, y qué ocurre si cambiamos los signos a los dos sumandos de la ecuación de la elipse? la ecuación ahora será –(x/a)²–(y/b)²=1.

tanto (x/a)² como (y/b)² son siempre positivos por estar elevados al cuadrado, y por tanto si les cambiamos el signo serán negativos y nunca podrán sumar 1. así pues, como no hay puntos que cumplan esa condición, tampoco habrá curva. la gráfica de esa ecuación será la nada absoluta.

ésta es la que más fácil de dibujar me ha resultado. :D sobre todo después de haber dibujado las hipérbolas, que no hacía ninguna desde cou... no me gustan demasiado.