el círculo

los niños de 6º de primaria ya saben que el área de un círculo de radio R es igual a π·R². conocer esta fórmula y utilizarla no es excesivamente difícil. pero demostrarla ya es un problema de nivel universitario.

supongamos una circunferencia centrada en el origen. cada uno de sus puntos se puede situar por sus coordenadas {x,y}, que serán las proyecciones horizontal y vertical del radio. nos será útil expresarlas en función del ángulo α que forma el radio con uno de los ejes, pongamos que sea el horizontal.

la ecuación de la circunferencia es x²+y²=R². efectivamente, por el teorema de pitágoras, las coordenadas de los puntos son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el radio.

esta ecuación se puede desdoblar en dos funciones: y=±√(R²–x²). las ramas de signo positivo y negativo se corresponden con la semicircunferencia superior y la semicircunferencia inferior, respectivamente.

para calcular el área del círculo interior a la circunferencia, nos resultará más cómodo calcular el área de un cuarto de círculo y multiplicarla por 4. hasta ahí, de acuerdo. el problema viene en la integral que hay que resolver.

realizaremos el siguiente cambio de variable: x=R·cosα. también habrá que cambiar los límites de integración. x=0 se corresponde con el radio vertical, por lo que α=π/2 (90º); en x=R el radio está horizontal, con lo cual α=0.

ya “sólo” queda resolver la integral. en primer lugar, el signo negativo lo compensamos intercambiando los límites de integración; R², al ser una constante, puede salir fuera de la integral; aplicamos la igualdad sen²α+cos²α=1; recordamos la expresión que relaciona el cuadrado del seno con el coseno del ángulo doble; y por último, integramos entre 0 y π/2.

y por fin llegamos a donde ya sabíamos: el área del círculo es π·R². ya veis cuántos cálculos hay detrás de una fórmula aparentemente tan sencilla. y reconozco que los he explicado un poco apresuradamente, porque de otro modo esta entrada habría sido interminable...

la forma circular se encuentra en muchos lugares. por ejemplo, en algunas fuentes como la que hay en la plaza de san juan de la cruz, cerca del intercambiador de nuevos ministerios. por allí paso siempre para ir a dar clases a una niña que ya ha tenido que vérselas con las circunferencias y los círculos...