recortables

la superficie lateral de un cilindro o de un cono se puede construir recortando una determinada figura en cartulina y enrollándola. sin embargo, con la superficie esférica no se puede hacer, porque tiene una doble curvatura. siempre quedarían arrugas y pliegues.

una superficie cilíndrica extendida es un rectángulo cuyos lados son la altura h y la longitud de la circunferencia de la base, 2·π·r.

un cilindro, en cuanto a la proporción entre su altura y su sección, puede ser más alargado o más achatado. pero su superficie lateral será siempre un rectángulo, cuya forma dependerá de la relación entre 2πr y h.

la superficie cónica da más juego. la distancia entre el vértice y cualquier punto de la circunferencia de la base siempre es igual a la generatriz del cono, g. un conjunto de puntos equidistantes de uno determinado es un arco de circunferencia. por tanto, la superficie del cono extendida será un sector circular cuyo centro es el vértice, y cuyos puntos del arco que lo delimita corresponden a la base del cono.

la longitud de un arco de circunferencia es igual al producto de 2π por el radio del arco -en este caso g- y por el cociente entre el ángulo del arco -al que llamamos α- y el ángulo completo de 360º. ese cociente es como la ‘proporción de tarta’ que desgajamos del total.

sabiendo que la longitud del arco cuyo radio es la generatriz del cono g y cuyo ángulo es α debe ser igual a la longitud de la circunferencia base del cono, igualamos ambas longitudes y obtenemos que la relación α/360 es igual a la relación entre el radio y la generatriz, r/g.

este factor de proporcionalidad debe ser siempre mayor que 0y menor que 1. el primer caso es obvio, porque si el radio de la base es nulo no hay cono. y en el segundo, si el radio de la base fuera mayor que la generatriz tampoco se podría formar un cono tridimensional. pensadlo y veréis cómo es así...

por tanto, para que exista el cono, r/g debe estar comprendido entre 0 y 1. y la forma de la superficie extendida del cono dependerá de que r/g sea mayor o menor que ½. en el primer caso, el ángulo abarcado será menor que 180º, y el cono será más estrecho y alto. en el segundo caso, el ángulo será mayor que 180º y será un cono más achatado.