tres dimensiones

no, en realidad no vamos a hablar de películas en 3d, ni de cuadros que aparentemente cobran vida... vamos a hablar de figuras geométricas tridimensionales.

ayer hice un tetraedro de cartulina, para poder explicarle mejor algunas cosas a mi alumna. un tetraedro es un poliedro regular formado por cuatro caras con forma de triángulo equilátero.

hay dos conceptos que no se deben confundir:

• la altura de la cara triangular de la pirámide, que se utiliza para calcular su área exterior.
• la altura de la pirámide, desde uno de sus vértices hasta el centro de la cara opuesta, que se emplea para calcular su volumen.

aquí tenemos la pirámide vista en planta, con una cara de cada color.

nos vamos a situar en una de sus caras. primero calcularemos la altura de la cara, a la que llamaremos h minúscula. si llamamos l al lado del triángulo -es decir, la arista del tetraedro-, se forma un triángulo rectángulo de catetos l/2 y h, y de hipotenusa l. aplicando el teorema de pitágoras, obtenemos el valor de h, que es (√3/2)·l. su longitud, de manera aproximada, viene a ser un 87% de la longitud de la arista.

ahora tenemos que calcular la altura de la pirámide, a la que vamos a llamar H mayúscula. para ubicarnos, vamos a hacer un dibujo en sucio de la pirámide. nos damos cuenta de que se forma un triángulo rectángulo de catetos la altura H y el radio de la circunferencia circunscrita a la cara, que denotaremos con la letra r; y de hipotenusa la arista l.

primero tenemos que calcular el valor de r. volvemos a situarnos en una cara del tetraedro. nos damos cuenta de que el triángulo rectángulo que se forma es justamente la mitad de un triángulo equilátero. sus catetos serán las mitades de la arista y del radio que buscamos, l/2 y r/2, y su hipotenusa será r. despejamos y obtenemos el valor de r.

y por fin, en el triángulo rectángulo de catetos H y r, y de hipotenusa l, lo único que no conocemos es H. aplicamos de nuevo el teorema de pitágoras, y hallamos el valor de H. es igual a √(2/3)·l, aproximadamente un 82% de la longitud de la arista.

en los problemas de figuras tridimensionales no tienes total libertad para inventarte los datos. y menos cuando se trata de poliedros regulares como el tetraedro. si das un valor para la arista, la altura de la cara y la altura del tetraedro te vienen dadas automáticamente, como cuando aplicas una fórmula en excel. los niños aún no saben calcularlas y tienes que dárselas tú para que puedan hacer los problemas. pero se las tienes que dar bien calculadas, o por lo menos con la suficiente aproximación. y es que entre los problemas que ponen en el colegio de mi alumna he visto más de uno mal planteado, vamos, que son figuras imposibles.