cicloide

la cicloide es la curva que describe un punto exterior de un círculo que rueda sin deslizamiento.

como explicábamos en esta entrada que mañana cumplirá un año, el movimiento de rodadura sin deslizamiento es la combinación de dos movimientos: una rotación respecto al centro de la rueda y una traslación horizontal.

la velocidad de traslación es tal que el punto de contacto de la rueda con el suelo en cada instante se mantiene inmóvil, y el centro de la rueda se desplaza a una velocidad de valor ω·R, siendo ω la velocidad angular y R el radio.

así pues, las ecuaciones de este movimiento se pueden expresar como sigue. dado que para el caso que nos ocupa podemos prescindir del tiempo, el ángulo ω·t girado lo podemos expresar simplemente como φ.

he dibujado una cicloide sencilla, representando la posición del círculo cada 45º girados. como 45º son π/4 radianes, y la velocidad de traslación hemos dicho que es igual a la velocidad angular por el radio, a cada π/4 de ángulo girado el centro del círculo se desplazará R·π/4 respecto a su posición anterior.

la longitud de la cicloide se puede calcular integrando cada diferencial de longitud. ese diferencial será la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos dx y dy. los diferenciales los obtenemos partiendo de las expresiones de x e y en función del ángulo φ.

integramos sobre φ a lo largo de una vuelta completa, es decir entre 0 y 2π. sacamos de la integral las constantes y empleamos las igualdades que relacionan los cuadrados de las senoidales con el coseno del ángulo doble.

y obtenemos un curioso resultado: la longitud de la cicloide es igual a 8 veces el radio R del círculo, o si se prefiere, 4 veces su diámetro.

también podemos calcular el área encerrada por la cicloide. para ello integramos los rectángulos de base dx y altura y, empleando de nuevo φ como variable de integración entre 0 y 2π.

el resultado es que el área comprendida entre la cicloide y la línea de rodadura es igual a 3 veces el área del círculo, π·R². esta vez sí depende de π.

espero que os haya gustado esta entrada. que por cierto, es la número...