trueque

hace un par de años, buscando problemas de matemáticas de 1º de eso para una alumna que tuve, encontré por casualidad este curioso problema:

en el mercado del trueque se cambia:

- una sandía y un melón por un queso.

- un queso por tres panes.

- dos melones por tres panes.

cuántas sandías te darán por un queso?

para resolverlo, lo mejor que podemos hacer es un pequeño esquema... suponemos que los intercambios se pueden realizar en ambos sentidos.

dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. puesto que tres panes son intercambiables por un queso o por dos melones, eso quiere decir que un queso equivale a dos melones. por otro lado, sabemos que un queso equivale a una sandía más un melón, y por tanto, dos melones valen lo mismo que una sandía y un melón.

la manera sencilla de resolver este problema es concluir que un melón es intercambiable por una sandía. así pues, a cambio de un queso te pueden dar o bien dos melones o bien dos sandías. la respuesta, por tanto, es que te darán 2 sandías.

a mí se me ocurrió otra idea más complicada, que sin embargo conduce al mismo resultado...

a cambio de un queso te dan dos melones. por éstos, a su vez, te dan una sandía y un melón. lo que queremos son sandías, así que ese melón lo entregamos, y a cambio nos darán media sandía y medio melón, por regla de tres. repetimos el proceso entregando el medio melón, y a cambio recibiremos un cuarto de sandía y un cuarto de melón. ese cuarto de melón lo cambiaremos por un octavo de sandía y un octavo de melón. y así sucesivamente...

este bucle infinito nos lleva a la suma de los términos de una progresión geométrica de razón ½. recordamos la fórmula que deducíamos en esta entrada, y obtenemos que esta peculiar suma de fracciones de sandía es igual a 2 sandías.

como veis, hemos llegado al mismo resultado de antes. la diferencia es que se necesitaría un cuchillo muy bien afilado y una gran pericia para cortar gajos de sandía cada vez más estrechos. al final serían tan finos como el papel de seda. se necesitaría, además, un tiempo infinito, que para que os hagáis idea es un tiempo muy superior al que ha transcurrido desde el big bang. para eso es mejor que nos den las dos sandías enteras directamente. :P