número áureo (4)

mi amiga geno me regaló este libro sobre la proporción áurea. no sé cómo pudo imaginarse que me gustaban estos temas, pero acertó plenamente. ;)

hace tiempo publiqué en este blog tres entradas relacionadas con el número áureo: la primera era sobre los pentágonos, la segunda sobre la sucesión de fibonacci, y la tercera sobre las espirales.

leyendo el libro de national geographic, he aprendido algunas cosas que no sabía...

veis este bucle infinito de fracciones? si se lo pongo a alguno de mis alumn@s, pensará que he perdido el juicio.

si hacemos el inverso de este mamotreto, nos damos cuenta de que es igual a la serie original -a la que llamamos x- menos una unidad. desarrollando la ecuación, obtenemos que x no es otra cosa que el número áureo, al que se suele denotar con la letra griega Φ.

y qué os parece esta serie infinita de raíces? da miedo, y casi ningún adulto se acuerda de cómo se resolvían las raíces cuadradas...

si elevamos al cuadrado este engendro, observamos que es igual al original más una unidad. eso nos conduce de nuevo a la ecuación de segundo grado cuya solución es el número áureo.

otro concepto que he aprendido es el de gnomon. se denomina gnomonde una figura geométrica a aquélla que yuxtapuesta a la primera nos dará una nueva figura de la misma forma y proporciones que la original.

con ejemplos se verá más claro. aquí tenemos un rectángulo áureo, cuyos lados miden 1 y Φ. la proporción entre el mayor y el menor es Φ, la proporción áurea.

si le añadimos un cuadrado cuyo lado sea de longitud Φ -el lado mayor del rectángulo original-, obtendremos un nuevo rectángulo áureo de mayor tamaño que el primero.

veamos ahora el triángulo áureo, que es como se denomina al triángulo isósceles formado por un lado de un pentágono regular y dos de sus diagonales. su ángulo más cerrado es de 36º, y los más abiertos son de 72º.

pensemos ahora en otro importante triángulo isósceles, el formado por dos lados del pentágono y una de las diagonales. tiene un ángulo obtuso de 108º y dos ángulos agudos de 36º.

si tomamos un triángulo de este tipo cuyos lados iguales tengan la misma longitud que los lados iguales del triángulo áureo del que hablábamos, y lo unimos al primero como se indica en la figura, obtendremos un nuevo triángulo áureo. así pues, el segundo triángulo es el gnomon del primero.

y a todo esto, vaya palabra, gnomon. no era así como se llamaba a una especie de enanitos que vivían en el bosque...? ;)