más parábolas

sí, es que ya escribí una entrada sobre parábolas, desde el punto de vista físico...

una parábola es la curva formada por los puntos equidistantes de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz.

la ecuación general de una parábola en el sistema de coordenadas cartesianas es:

y = ax²+bx+c

el coeficiente aes el que determina la forma de la parábola:

- si a es grande en valor absoluto, la parábola será más cerrada. si a es pequeño, será más abierta.

- si a es positivo, la parábola tendrá las ramas hacia arriba. si a es negativo, tendrá las ramas hacia abajo.

por otro lado, b y c nos informan de la posición de la parábola en los ejes de coordenadas. vamos a calcular la posición del foco y de la directriz de una parábola dependiendo de su coeficiente de segundo grado, que como decimos es el que define su forma.

para ello nos será más sencillo trabajar con una parábola cuyo vértice esté situado en el origen de coordenadas:

y = ax²

un punto cualquiera de la parábola -llamémoslo P-, estará definido por sus coordenadas (x, y), es decir, (x, ax²).

el foco F estará situado sobre el eje vertical, y su distancia al origen será f, cuyo valor queremos calcular. las coordenadas del foco serán (0, f).

y la recta directriz r será paralela al eje horizontal, a una distancia f  por debajo del mismo.

hay dos distancias que necesitamos: desde el punto genérico P hasta el foco F, y desde el punto P hasta la directriz r.

la distancia entre P y F la hallamos por el teorema de pitágoras, restándole a las coordenadas de un punto las coordenadas del otro, y calculando la raíz de la suma de los cuadrados de esas diferencias.

la distancia entre P y r es más sencilla de obtener: simplemente la suma de la coordenada vertical del punto y la distancia f a la que se encuentra la directriz del eje vertical.

igualamos esas dos distancias, y haciendo algunos cálculos obtenemos el valor f = 1/4a.

f es inversamente proporcional al coeficiente de 2º grado a. esto quiere decir que:

- cuanto mayor sea a-parábola más cerrada-, menor será f: más cerca del vértice se encontrarán el foco y la directriz.

- cuanto menor sea a-parábola más abierta-, mayor será f: más lejos del vértice estarán el foco y la directriz.

visualmente, me lo imagino así: si la parábola fuera una barra flexible, al doblarla se acercarían el foco y la directriz, y al enderezarla se alejarían.

esto me recuerda a un relato de sherlock holmes en el que un individuo se presenta en su consulta con objeto de amenazarle para que no investigue un caso que le acaban de encomendar. este sujeto agarra un atizador de chimenea y lo dobla para hacer una exhibición de su fuerza. pero cuando se marcha sin haber logrado intimidar a holmes, éste lo endereza sin gran dificultad, demostrando poseer la misma fuerza física. y es que se necesita la misma energía para doblar una barra de hierro que para desdoblarla...