problema abierto

algunas ecuaciones polinómicas de grado 3 o mayor no se pueden resolver de manera exacta. la verdad es que nunca me he molestado en investigar para encontrar una manera de hacerlo. porque lo que se me pueda ocurrir a mí ya se les habrá ocurrido a los matemáticos más prestigiosos.

es un razonamiento similar al que le hace el capitán haddock a tintín, cuando se empeña en acudir al rescate de un amigo suyo que viajaba en un avión estrellado en el tíbet.

a una alumna de 1º de eso le dije un día:

–las ecuaciones de primer grado ya las sabes hacer muy bien. y las de segundo grado ya verás que no son difíciles, se hacen aplicando una fórmula.

–y las de tercer grado? –me preguntó.

–huy, una ecuación de tercer grado, o encuentras una solución por tanteo y la reduces a una de segundo grado, o no hay manera de resolverla.

y así sucede. en un polinomio de tercer grado puedes ver a ojo un valor de x que lo haga cero, lo que se llama una raíz del polinomio. en el que veis en el escaneado, x=1 es una raíz.

el siguiente paso a dar es dividir el polinomio original entre x–raíz. como en el ejemplo la raíz es 1, dividimos entre x–1.

de ese modo obtenemos una ecuación de segundo grado, cuyas dos soluciones hallamos mediante la conocida fórmula. –1 y 2, junto con 1 (que era la que habíamos identificado a simple vista), serán las tres soluciones de nuestra ecuación de tercer grado.

pero hay polinomios en los que, por más que probemos, no encontramos ninguna raíz por tanteo. tendremos que calcular algunos de los puntos más significativos del polinomio y representarlo gráficamente para tener una idea de por dónde pasa, y así poder obtener sus raíces de manera aproximada.

lo primero que calcularemos serán sus máximos y mínimos. para ello hallamos la derivada del polinomio y la igualamos a cero.

comprobamos que, de los dos puntos en que se anula la derivada, el primero es un máximo y el segundo un mínimo.

calculamos el valor del polinomio original en las abscisas donde se alcanzan el máximo y el mínimo. para tener una representación más precisa de la gráfica, podemos calcular algunos puntos más, por ejemplo la ordenada en el origen...

en la gráfica se observa que este polinomio tiene tres raíces: una próxima a 0, otra entre 2 y 3 (más cerca de 2), y otra entre 3 y 4. se calcularían por acotación, probando con valores de x que estén en esos intervalos y afinando hasta que al sustituir por ellos el valor del polinomio sea todo lo próximo que queramos a cero.

cuanto mayor sea el grado de la ecuación, más improbable será que se pueda resolver de manera exacta. en una ecuación de tercer grado, si ves al vuelo una solución puedes pasar a una de segunda grado. pero en una de cuarta grado, necesitas conocer a priori dos soluciones, en una de quinto grado necesitas tres soluciones, y así sucesivamente.

esto de las ecuaciones de grado ≥3 es un misterio. si sus coeficientes son enteros, digo yo que sus soluciones, aunque sean irracionales, al menos se podrán expresar como combinaciones de raíces de números enteros. pero tampoco eso está muy claro...