fricción

estos días he estado un poco griposo. en realidad no tengo claro si ha sido una gripe o sólo un catarro muy chungo, pero para el caso es lo mismo.

como el cuerpo y la mente están estrechamente relacionados, mi ánimo no ha estado precisamente por las nubes. la inactividad es fatal, y por eso hay que buscar cualquier excusa para mantener la mente ocupada.

en una fiesta de mi promoción del colegio que hicimos hace como un año y medio, un compañero describió el recuerdo que tenía de mí: al parecer, cuando alguien me preguntaba qué tal estaba, le respondía hablándole de algún teorema. :D así que voy a seguir esa misma estrategia. en este caso, más que un teorema es un caso práctico de física.

cuando dejamos caer un objeto, hay dos fuerzas contrapuestas que intervienen: la gravedad y la resistencia del aire. esta última es proporcional al cuadrado de la velocidad del objeto que cae. la constante de proporcionalidad depende, entre otras cosas, de la viscosidad del aire (o de cualquier otro fluido del que se trate).

el valor de la fuerza de rozamiento del aire será el mismo independientemente de la masa del cuerpo que cae. una misma fuerza aplicada sobre un cuerpo de menor masa, provocará en éste una mayor variación de su aceleración. por eso, cuando soltamos desde cierta altura una hoja de papel por ejemplo, seguirá una trayectoria errática hasta caer. pero si es un objeto lo suficientemente pesado, la resistencia del aire apenas le afectará, y su trayectoria no se diferenciará mucho de la que se produciría en el vacío.

queremos obtener una ecuación que relacione la velocidad con el tiempo. para ello separamos variables en la ecuación del escaneado anterior, de la manera que se indica:

el denominador de nuestra expresión se asemeja a una diferencia de cuadrados. hacemos un truco algebraico para transformarla en la suma de dos componentes cuyos denominadores sean la suma y la diferencia que multiplicadas entre sí darían la mencionada diferencia de cuadrados.

integramos, teniendo en cuenta que en el instante inicial la velocidad es nula por tratarse de un caso de caída libre. tal como lo hemos preparado, nos encontramos con unas integrales de cocientes en los que el numerador se puede expresar como la derivada del denominador multiplicada por una constante. las integrales de este tipo dan como resultado logaritmos neperianos.

ya hemos hecho lo más difícil. tenemos por un lado el tiempo, y por otro lado el logaritmo de un cociente cuya variable es la velocidad. ahora nos convendrá despejar dicho logaritmo y pasar todas las constantes al otro lado de la ecuación.

aplicamos la exponencial en ambos lados de la ecuación. sabiendo que la exponencial es la función inversa del logaritmo, obtenemos una ecuación que relaciona una exponencial del tiempo con la ya citada expresión en función de la velocidad.

nos damos cuenta de algo curioso: el número e elevado a un producto de constantes por el tiempo crece de manera muy pronunciada y se hace infinito cuando el tiempo tiende a infinito. eso quiere decir que en el otro lado de la ecuación ocurrirá lo mismo. qué tiene que ocurrir para que un cociente se haga infinito? que el denominador se haga cero.

y en el caso que nos ocupa, eso quiere decir que en régimen permanente la velocidad del cuerpo que cae tenderá a ser constante. esa velocidad estabilizada, como se observa, dependerá de la gravedad, de la masa del cuerpo y de la constante de fricción del aire.

cuando estaba en cou, pensaba: “cómo sería la caída libre con resistencia del aire? muy fácil! introducimos una aceleración constante contraria a la de la gravedad”. y eso es una burrada, porque no es constante ni mucho menos.

estos problemas los hacíamos en física de 1º de carrera, a pesar de que las ecuaciones diferenciales -herramienta necesaria para resolverlos- no se daban hasta 2º. más majos los catedráticos de mi escuela!! ;)