cuadrículas

normalmente me siento más cómodo escribiendo sobre folios blancos, sin cuadrícula, quizá porque soy muy libre de espíritu. ^_^ sin embargo, tanto en este blog como en mis clases empleo folios cuadriculados cuando hay que hacer gráficas.

en 4º de egb, aquel profesor al que llamé por teléfono y se quedó flipado, después de los dictados nos dejaba que hiciéramos lo que él llamaba una greca: un dibujo con un patrón geométrico guiándonos por la cuadrícula de la hoja. con un ejemplo lo veréis mejor. he hecho algo parecido a un molino de viento...

supongo que ese profesor lo hacía para que nos relajáramos un rato y para fomentar nuestra creatividad. un dibujo de este tipo es algo parecido al juego del tente, pero en dos dimensiones. o al punto de cruz, salvando las distancias, porque el punto de cruz obviamente tiene mucho más mérito.

cada cuadrado relleno de color se asemeja a lo que hoy se conoce como píxel. si es que está todo inventado desde hace mucho más tiempo del que creemos... en el dibujo he coloreado los cuadrados de la misma manera que lo hacía de pequeño: trazando líneas cruzadas paralelas a las dos diagonales. tanto si te esmeras en hacerlo muy bien como si lo haces de cualquier manera, el resultado es similar, ya que en el primer caso se te cansará antes la mano y te acabará saliendo un churro igualmente.

años más tarde seguía haciendo dibujitos en papel cuadriculado, pero de otro estilo. una vez se me ocurrió trazar una especie de escalera con peldaños de anchura creciente. todos ellos son de un cuadrado de altura, pero su anchura va aumentando: 1 cuadrado, 2 cuadrados, 3 cuadrados, 4 cuadrados... en el dibujo se verá mejor.

hemos marcado en azul las diagonales de los rectángulos resultantes. me preguntaba si la línea quebrada azul se asemejaba a alguna función matemática. su pendiente es decreciente, eso es todo lo que sabemos. veamos si a través de la gráfica de su función inversa -que se obtiene girando la gráfica original 90º en sentido antihorario y volteándola horizontalmente- averiguamos algo más.

nos damos cuenta de que en cada cuadrado contado desde la izquierda, la pendiente de la línea azul coincide exactamente con la coordenada de ese cuadrado en un hipotético eje de abscisas. en el cuadrado número 1 la pendiente es 1; en el cuadrado número 2 la pendiente es 2 (subimos 2 cuadrados por cada cuadrado que avanzamos a la derecha); en el cuadrado número 3 la pendiente es 3 (subimos 3 cuadrados por cada cuadrado que avanzamos a la derecha); ...y así sucesivamente.

esto nos hace pensar en una función cuya derivada coincida exactamente con su abscisa. esa función sólo puede ser x²/2. su derivada -que nos indica la pendiente en cada uno de sus puntos- es x.

x²/2 sería la función a la que se asemeja nuestra gráfica girada y volteada. y para la gráfica original? tendríamos que deshacer el cambio y obtener la función inversa de x²/2. partiendo de la expresión y = x²/2 e intercambiando la posición de las variables x,y, hallamos la función inversa: y = √(2x).

y hablando de invertir, aquí tenéis la greca de antes con los colores opuestos.