porosidad

la sucesión numérica de término general (-1)ⁿ es de las más sencillas que hay: sus términos son iguales a 1 para valores pares del exponente n, y a -1 para valores impares de n.

hace tiempo se me ocurrió preguntarme qué pasaría si generalizáramos para todos los números reales. es decir, qué aspecto tendría la función (-1)^x, siendo x cualquier número real, no necesariamente entero.

si el exponente x es un número racional, lo podremos expresar en forma de fracción como n/m. (-1)^n/m no es otra cosa que la raíz de índice m (m-ésima, si se quiere) de (-1)ⁿ.

si n es par, (-1)ⁿ será siempre 1, y su raíz m-ésima será también 1, independientemente del valor de m.

si n es impar, (-1)ⁿ será -1. en caso de que msea impar, su raíz m-ésima será -1 también. pero si m es par, estamos ante una raíz de índice par de un número negativo, y su valor no pertenecerá al conjunto de los números reales. será un número complejo.

y ya no digamos si elevamos -1 a un número irracional. en la calculadora científica que tengo desde hace más de quince años, si elevas -1 a algún número raro, te sale un número complejo expresado en la forma [a, b], siendo a la parte real y b la parte imaginaria.

recordando la fórmula de euler, podemos deducir la siguiente expresión general:

(-1)^x = cos(π·x)+i·sen(π·x)

la función (-1)^x, por tanto, unas veces toma el valor 1, otras veces toma el valor -1, y otras veces toma valores complejos -y que por tanto son invisibles en una gráfica real-. por ello, esta función estará formada por dos rectas ‘porosas’ horizontales cuyas ordenadas son 1 y -1.

como decimos, estas rectas no son continuas, sino que entre los puntos que las forman hay huecos o poros. si alguien derramara agua sobre ellas se filtraría y caería una gotera en el piso inferior.

y eso es lo que ocurre en la historieta de zipi y zape de la que está sacada esta viñeta. pero no os asustéis... los hermanos han puesto unos muñecos de cartón para hacer creer a su padre que estudian, mientras están jugando al fútbol.