otra de baldosas

una tarde de las vacaciones de verano en la que estaba un poco aburrido, me fijé en las baldosas del comedor de la casa de mi abuela. cada baldosa tiene dos franjas en ángulo recto en forma de L. me pregunté cuál sería la anchura de esas franjas en proporción con el lado de la baldosa.

hay que darse cuenta de que el lado de los cuadrados rojizos (en posición girada ◊) tiene la misma longitud que el lado de los cuadrados negros (en posición recta □) que se forman por cada cuatro baldosas juntas.

sabiendo eso, se puede plantear una ecuación. llamaremos l al lado de la baldosa y x a la anchura de la franja que queremos calcular. la diferencia de ambas longitudes será l–x, que es el lado del cuadrado de fondo blanco en cuyo interior se aloja el cuadrado más pequeño de color rojo.

si nos fijamos bien, nos daremos cuenta de que el lado del cuadrado rojo es igual a la mitad de la diagonal del cuadrado blanco. y la diagonal de un cuadrado es igual a su lado multiplicado por la raíz cuadrada de 2. por tanto, el lado del cuadrado rojo será (l–x)·√2/2.

el lado del cuadrado negro es igual al doble de x, la longitud que estamos buscando. obligamos a que 2x sea igual a (l–x)·√2/2, y despejando x obtenemos qué fracción representa respecto a la longitud de la baldosa: x=[√2/(4+√2)]·l. algo más de la cuarta parte de la longitud l.

vamos a racionalizar el cociente √2/(4+√2), multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador. de esa manera, obtendremos una expresión que nos será más cómoda para trazar gráficamente la longitud representada por esa combinación de números.

la longitud x la hemos transformado en [(2√2–1)/7]·l. vamos a analizar esa expresión, teniendo en cuenta que l aparece como factor común.

si multiplicamos l por √2, obtenemos la diagonal de un cuadrado de lado l. si multiplicamos por 2, simplemente duplicamos la longitud de esa diagonal. a continuación, le restamos la longitud original. y por último, dividimos entre 7 la longitud obtenida tras las operaciones anteriores, mediante el teorema de tales.

ya podemos reproducir el dibujo del mosaico del que hablábamos al principio. primero a lápiz...

después pasamos a tinta: en negro los contornos de las baldosas, y en gris los límites de sus dibujos interiores.

y por último coloreamos. me he tomado algunas libertades respecto al modelo original, pero bueno...