columpios

desde el punto de vista de la física, un columpio es similar a un péndulo. ambos tienen un movimiento oscilatorio. en el dibujo se representa el péndulo o columpio, con la fuerza de gravedad y sus proyecciones sobre la dirección del movimiento y sobre el cable/cuerda/cadena que lo sostiene.

la ecuación diferencial de la trayectoria se plantea de la siguiente manera: la masa por la aceleración lineal es igual a la fuerza gravitatoria proyectada sobre la dirección que sigue el columpio. se añade un signo negativo para indicar que la fuerza va en sentido contrario al movimiento.

llamamos m a la masa, g a la aceleración de la gravedad, L a la longitud de la cadena y θ al ángulo que forma la cadena con el eje de referencia en cada instante. la aceleración lineal es igual a la longitud L por la aceleración angular. y ésta será igual a la segunda derivada de θ, denotada como esa misma letra griega con dos puntos encima. por último, para que la ecuación se pueda resolver analíticamente, aproximaremos el seno del ángulo al propio ángulo, lo cual se puede hacer cuando éste toma valores pequeños.

este tipo de ecuaciones diferenciales se resuelven mediante un método que expliqué hace tiempo en esta entrada (una de mis preferidas, por cierto). la conclusión es que el ángulo que forma el columpio varía cíclicamente. hemos elegido las constantes de integración de manera que en el instante inicial movemos el columpio un cierto ángulo y lo soltamos, con lo cual empezará a oscilar hasta que algo lo detenga.

también debemos tener en cuenta la tensión de la cuerda o cadena para que resista el peso de una persona adulta, un niño o un pitufo según el caso, y así evitar que se produzcan accidentes. ;)

en teoría, un movimiento oscilatorio de este tipo duraría indefinidamente si no hubiera rozamiento. sin embargo, la realidad es muy distinta. estamos hablando de tiempos infinitos muy alegremente. cuando le das un impulso a un columpio y dejas que se siga moviendo por inercia, entre que dure toda la eternidad como aseguran los modelos teóricos de física y que dure un minuto como suele suceder realmente, habrá un término medio.

vamos a plantear una ecuación similar a la anterior, pero introduciendo una fuerza de rozamiento o fricción, que será proporcional a la velocidad lineal y se opondrá al movimiento. llamamos al coeficiente de proporcionalidad con la letra griega μ. la velocidad lineal será el producto de la longitud L por la velocidad angular. y ésta es igual a la longitud L por la primera derivada de θ, representada como dicha letra con un punto encima.

tras unos farragosos cálculos que omitimos y algunas simplificaciones, obtenemos una ecuación para el movimiento similar a la anterior, pero multiplicada por una exponencial negativa. esto se traduce en que lo que se llama ‘oscilaciones amortiguadas’. su amplitud será cada vez menor, hasta que tienda a cero y el columpio se detenga. y a menos que el exponente μ/2m sea muy pequeño en valor absoluto, el movimiento se detendrá pronto. porque una exponencial negativa es muy “inhibidora”: se aproxima a cero rápidamente, arrastrando todo lo que vaya multiplicado por ella.

como ejemplo, vamos a calcular la expresión del tiempo transcurrido para que la amplitud del movimiento se reduzca a la mitad. como vemos, depende directamente de la masa m e inversamente del coeficiente de rozamiento μ. por tanto, un cuerpo de gran masa y en unas condiciones en las que exista un rozamiento muy bajo, se supone que podría estar oscilando durante horas, días, meses...

la inspiración para esta entrada me vino de la novela juvenil la tejedora de la muerte de concha lópez narváez. es una historia de suspense en la que suceden cosas tales como una mecedora que se mueve sola en una casa deshabitada desde hace muchos años. y las mecedoras también tienen un movimiento oscilatorio, de ahí que me acordara de ese tema de física...