cruce de caminos

cuando veo los pasamanos de las escaleras mecánicas de un gran almacén, siempre pienso en el problema de dos rectas cruzándose en el espacio.

dos rectas, cuando están en un mismo plano, pueden o bien cortarse o bien ser paralelas. pero si trazamos dos rectas al azar en el espacio, lo más probable es que no pertenezcan a un mismo plano, y que por tanto se crucen. es decir, que ni sean paralelas ni se corten.

recuerdo que el problema más complicado que te podían poner en el tema de geometría del espacio de cou, era el de calcular la distancia mínima entre dos rectas que se cruzan. no recuerdo exactamente cómo lo hacíamos, pero se me ocurre un posible método: calcular la dirección que debe seguir una recta que sea perpendicular a las dos rectas dadas, imponer la condición de que corte a ambas y calcular la distancia entre los puntos de corte.

voy a inventarme dos rectas sobre la marcha, eso sí, con coeficientes sencillos para que luego no salgan cálculos muy farragosos.

a continuación, vamos a expresar para ambas rectas las coordenadas y, z en función de x. nos vendrá bien después.

ahora calcularemos la dirección que debe seguir una recta que sea perpendicular a las dos dadas. en la ecuación de una recta -como las que aparecen en el primer escaneado-, los denominadores coinciden con las componentes del vector que indica su dirección. tendremos que calcular el producto vectorial de los vectores directores de las rectas. si las tres componentes tienen algún divisor común, se pueden ‘simplificar’.

llegamos a la parte más delicada de nuestro razonamiento: tomamos dos puntos genéricos, pertenecientes a cada una de nuestras rectas iniciales. obligamos a que ambos pertenezcan a la tercera recta, y que por tanto cumplan su ecuación.

sustituimos las coordenadas y, z de ambas rectas por las expresiones en función de x que hemos calculado antes.

de esa manera, la ecuación de la tercera recta la hemos expresado en función de las coordenadas xde las dos rectas dadas.

como la ecuación de una recta en el espacio consiste en tres cosas que se igualan dos a dos, en el fondo lo que hemos obtenido es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: x₁, x₂.

resolvemos el sistema y calculamos x₁, x₂. y a continuación sustituimos para hallar y₁, y₂, z₁, z₂. ya tenemos las coordenadas de los puntos de corte de nuestras dos rectas con la tercera perpendicular a ambas.

lo más difícil ya lo hemos hecho. ahora sólo queda hallar el vector que une ambos puntos. su módulo o longitud se calcula mediante el teorema de pitágoras. esa longitud será la distancia mínima entre las dos rectas.

en las escaleras mecánicas de los grandes almacenes no suelo avanzar en el sentido de la marcha. no se ahorra mucho tiempo con ello. sí lo hago en cambio en las escaleras del metro, ya que a veces son interminables, y por unos segundos puedes perder un tren y tener que esperar cinco minutos hasta el siguiente.