insomnio otra vez

en cierta ocasión, tuve una idea para una entrada durante una noche de insomnio. la diferencia es que aquella vez me levanté y la escribí en el momento, mientras que esta vez he esperado a que salga el sol...

una alumna mía de 4º de eso está dando el tema de logaritmos. el otro día le mandaron como ejercicio una ecuación que daba dos soluciones, una de las cuales no era válida, ya que al sustituir en la ecuación inicial salía un logaritmo de un número negativo.

al igual que no existe la raíz de índice par de un número negativo, tampoco existe el logaritmo de un número negativo. pero ojo, al decir que ‘no existe’ nos estamos refiriendo a una solución real. sí existirán soluciones complejas.

los números complejosson aquellos que contienen una parte imaginaria.

toman la forma a + b·i.

a y b son números reales, mientras que i es la unidad imaginaria, definida como la raíz cuadrada de -1. es decir, i = √-1.

el logaritmo de un número negativo se puede desglosar de la siguiente manera, aplicando las propiedades de los logaritmos:

ln(-N) = ln(-1·N) = ln(-1) + ln(N)

por ahora estamos usando logaritmos neperianos -en base e-, pero después veremos que para los logaritmos decimales sólo hay que hacer un pequeño cambio.

y cuánto vale el logaritmo de -1? recordemos la famosa fórmula:

e^i·x = cos(x) + i·sen(x)

para x = π, sustituyendo, e^π·i = cos(π) + i·sen(π) = -1 + i·0 = -1

como se ve, π·i es el número al que hay que elevar e para que nos dé -1. y eso es, por definición, el logaritmo neperiano de -1.

por tanto, ln(-N) =ln(N) + ln(-1) = ln(N) + π·i.

es decir, un número complejo con parte real ln(N) y parte imaginaria π.

y para el logaritmo decimal? análogamente, como las propiedades de los logaritmos no dependen de la base:

log(-N) = log(-1·N) = log(N) + log (-1)

vamos a buscar otra ‘fórmula mágica’ que relacione exponenciales con senoidales, pero en base 10:

10^i·x = (e^ln10)^i·x = e^i·(ln10·x)= cos(ln10·x) + i·sen(ln10·x)

a cuánto hay que elevar 10 para que nos dé -1?

habrá que imponer que:  cos(ln10·x) = -1  –>  ln10·x = π  –>  x = π/ln10

así pues, log(-1) = (π/ln10)·i

y por tanto, log(-N) = log(N) + (π/ln10)·i

decididamente, prefiero acostarme tarde cuando ya estoy que me caigo de sueño y dormir de un tirón, que acostarme pronto y luego estar dando vueltas en la cama y despertándome cada dos por tres.

por otro lado, hay tres cosas que tengo asociadas en mi mente, como si estuvieran hechas de un mismo material: los números complejos, los sueños y las grabaciones al revés.

habéis probado a escuchar stairway to heaven de led zeppelin al revés, a ver si es verdad que contiene mensajes subliminales?? :O