medias lunas

dos líneas trazadas desde un punto cualquiera de una circunferencia hasta los extremos de uno de sus diámetros, se puede demostrar que son perpendiculares entre sí. es decir, se forma un triángulo rectángulo cuyos catetos son esas líneas, y cuya hipotenusa es el diámetro de la circunferencia.

si trazamos dos semicircunferencias tomando como diámetros los catetos, se formarán sendas figuras en forma de media luna, que en el dibujo las hemos sombreado en verde.

su área conjunta será la diferencia entre las áreas de los semicírculos trazados sobre los catetos y las áreas de los segmentos circulares -sombreados en amarillo-.

para calcular las áreas de los semicírculos, necesitamos conocer sus radios. los expresaremos en función del radio original R y de las razones trigonométricas del ángulo menor α de nuestro triángulo rectángulo.

y conociendo los radios, obtenemos el área conjunta de los semicírculos.

ahora toca calcular el área de los dos segmentos circulares. la hallaremos de nuevo como una diferencia de áreas: la del semicírculo original menos la del triángulo rectángulo.

el área del triángulo la expresaremos en función de R y del seno y coseno de α. una vez hecho eso, sustituimos en la expresión anterior.

decíamos al principio que el área de las medias lunas era la diferencia entre el área de los semicírculos y el área de los segmentos circulares. ya conocemos ambas cosas, y por tanto sólo queda operar.

el área conjunta de las medias lunas, por tanto, sólo depende del radio R y del ángulo α. no aparece para nada el número π. resulta muy curioso que la suma de áreas de dos figuras limitadas por arcos de circunferencia no dependa de π, si lo pensáis.

y a todo esto, siempre que hablo sobre lunas o medias lunas, utilizo viñetas de la historieta corta los pitufos vivían en paz. a ver si varío un poco. :P