complejidad

no puedo negarlo, me gustan los números complejos más que a un tonto un lápiz. y en particular esta fórmula, que me ha dado juego para varias entradas.

e^ix = cos(x) + i·sen(x)

dicha fórmula relaciona las funciones exponenciales con las funciones senoidales a través de los números complejos, y gracias a ella las exponenciales y las senoidales pueden transformarse unas en otras, en ambos sentidos.

algo así como cuando mortadelo se disfraza...

a partir de la mencionada ecuación, vamos a despejar el seno y el coseno, para hallar después la tangentecomo razón entre ambos. haremos algo parecido a un sistema de ecuaciones, teniendo en cuenta que el seno es una función impar y el coseno es una función par.

ahora vamos a obtener la función inversa de la tangente, es decir la arcotangente. para ello, en primer lugar intercambiamos las variables x, y. a continuación despejamos y, tomando logaritmos.

la derivada de la función arcotangente es 1/(1+x²). por definición, arcotg(x) es el ángulo cuya tangente es x. siempre me ha parecido sorprendente que la derivada de una función trigonométrica -inversa, pero trigonométrica al fin y al cabo- dé un cociente de polinomios.

vamos a demostrarlo derivando la expresión logarítmica que hemos obtenido para la arcotangente. aplicamos las propiedades de los logaritmos y hacemos la suma de las fracciones algebraicas que nos aparecen. y así deducimos que la derivada de arctg(x)es, efectivamente, 1/(1+x²).

las funciones trigonométricas transformadas en exponenciales / logarítmicas -o viceversa- son muy útiles para descubrir y demostrar propiedades. pero son tan irreconocibles como mortadelo disfrazado de señora.