acertijos

en la última quedada, mi buena amiga laura me regaló este libro de acertijos matemáticos. qué fama tengo! ;)

he aprendido bastantes cosas que no sabía, entre ellas algunas propiedades de los números enteros elevados al cuadrado y al cubo.

un número elevado al cuadrado nunca podrá acabar en 2, 3, 7, 8. cuando multiplicas un número por sí mismo, su última cifra será siempre la correspondiente al producto de la última cifra por sí misma. y como los cuadrados de los números de un dígito sólo pueden acabar en 0, 1, 4, 5, 6, 9, eso descarta el resto de cifras.

para explicar la siguiente propiedad, debemos conocer el concepto de raíz digital: consiste en sumar las cifras de un número, y si éstas dan otro número de más de una cifra, repetir el proceso con las cifras de este último. por ejemplo, la raíz digital de 36 sería simplemente 3+6 = 9. para la de 49, primero habría que sumar 4+9 = 13, y como 13 tiene dos cifras, las sumamos a su vez: 1+3 = 4.

pues bien, las raíces digitales de los números enteros elevados al cuadrado siguen una pauta que se va repitiendo periódicamente: 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, 9. en la siguiente tabla, en azulón aparecen los primeros cuadrados, en azul mar se aclara de qué números enteros provienen, y en morado se indica la raíz digital de cada uno. observamos que siguen una pauta cíclica.

continuamos con propiedades relacionadas con cuadraditos... como los de la camisa de luisa lanas. la suma de los primeros números enteros elevados al cubo -sin omitir ninguno- siempre da un número entero elevado al cuadrado. cómo os quedáis? en la tabla aparecen los cubos de los números enteros desde 1 hasta 10 (1³=1, 2³=8, 3³= 27...) y sus sumas acumulativas.

observamos que, efectivamente, esas sumas siempre dan cuadrados, pero no todos los cuadrados que existen. sólo los de una serie de números: 1, 3, 6, 10, 15, 21... se trata de una sucesión que, tras unas deducciones que omitimos para no alargar demasiado esta entrada, se llega a la conclusión de que tiene como término general (n²+n)/2, que sacando factor común se puede expresar como n·(n+1)/2.

da la casualidad de que esa fórmula nos da la suma de los n primeros números enteros: 1+2+3+...n. por tanto, la suma de los primeros enteros elevados al cubo será igual a la suma de esos primeros enteros, toda ella elevada al cuadrado. lo cual es realmente curioso...

estas propiedades, de momento no sé cómo demostrarlas. por ello, esta entrada es algo parecido a una historia sin final, a un caso no cerrado. como las cinco semillas de naranja de sherlock holmes, que nunca se llegó a resolver. cuando logre ver la luz, ya os diré algo...