centro de masas

centro de masasviene a ser lo mismo que centro de gravedad, pero he empleado la primera denominación para el título porque ya hubo una entrada llamada centro de gravedad. manías que tiene uno. ;)

para la danza y todo tipo de ejercicios de equilibrio, juega un papel importante el centro de gravedad del cuerpo. cuando éste se curva, su centro de gravedad se encontrará en un punto ‘en el aire’, fuera el propio cuerpo.

para entender mejor esta idea, vamos a hallar el centro de masas de una semicircunferencia. para ello calcularemos la integral del producto del radio vector desde el centro de la circunferencia por cada diferencial de longitud, dividida entre la longitud total. habrá que integrar entre 0 y π(180º), al ser la mitad de una circunferencia.

por razones de simetría, el centro de masas se encuentra en la vertical que pasa por el centro desde el que hemos pinchado el compás para trazar la semicircunferencia. por eso, la coordenada x del centro de masas es nula, como cabía esperar. la coordenada y, que es la que cuenta, será igual a (2/π)·R, aproximadamente igual a 0,637·R. poco menos de dos tercios del radio. si observamos el dibujo, se trata de un punto que queda fuera del arco, está ‘en el aire’.

ahora nos hemos quedado con la curiosidad de saber dónde estaría el centro de gravedad de un semicírculo macizo. calcularemos la integral del producto del radio vector por cada diferencial de área, entre el área total. esta vez lo haremos sobre dos variables por estar en dos dimensiones: radialmente entre 0 y R, y angularmente entre 0 y π.

no nos molestamos en calcular la coordenada x, pues ya sabemos que por simetría va a ser cero. la coordenada y del centro de gravedad es igual a (4/3π)·R, aproximadamente 0,424·R. algo menos de la mitad del radio. queda un poco más abajo que en el caso de la semicircunferencia.

podríamos rizar el rizo y calcular el centro de masas de un cuarto de círculo. esta vez omitiré los cálculos y quien tenga curiosidad que lo haga, que después de nochevieja seguro que estaréis con el cuerpo y la mente en forma. :D pistas: hay que calcularlo tanto para x como para y, integrando el ángulo entre 0 y π/2 (90º). el resultado es que ambas coordenadas del centro de gravedad son iguales entre sí, con valor de (4/3π)·R. resulta previsible que sean iguales, ya que por la simetría de un cuarto de círculo, se sabe que su centro de masas va a estar situado en algún lugar de la bisectriz.

esther está soñando que es trapecista y juanito la recoge en sus brazos. cada persona tiene sus sueños por cumplir. espero que en 2018 todos vuestros sueños se hagan realidad.