tiro parabólico

últimamente he estado haciendo problemas de tiro parabólico con una alumna muy simpática de 1º de bachillerato. en la hoja de problemas que le dieron en el colegio había uno que me llamó la atención: se trataba de calcular el ángulo con el que se debe lanzar un objeto para que la distancia horizontal máxima que recorre sea la misma que la altura máxima alcanzada. no daban ningún dato, excepto suponer que se lanza al nivel del suelo y que la única aceleración presente es la gravedad, vertical hacia abajo.

aquí vamos a resolver un problema parecido pero ligeramente distinto: queremos que la máxima distancia horizontal (x máxima) sea el doblede la altura máxima (y máxima). para empezar, plantearemos las ecuaciones de la trayectoria y de la velocidad.

el objeto alcanza y máxima cuando la componente vertical de su velocidad es cero. sabemos por experiencia que al lanzar un objeto por el aire, va perdiendo velocidad vertical hasta que se para y vuelve a caer. hallaremos el instante de tiempo en el que eso ocurre, y esa expresión del tiempo la sustituiremos en la coordenada y.

ahora vamos a calcular la x máxima. podríamos obtener el instante en que la y se hace cero -es decir, cuando el cuerpo cae al suelo-, pero es más rápido deducir que ese tiempo será el doble del que tarda en alcanzar la altura máxima, dada la simetría de la parábola. a continuación, sustituiremos ese tiempo en la coordenada x para hallar la distancia horizontal máxima.

ya sólo nos queda igualar la x máxima con el doble de la y máxima. observamos que se cancelan a ambos lados de la ecuación la velocidad inicial v₀ -no la conocíamos pero no nos ha hecho falta-, y la gravedad. nos queda tan sólo una igualdad que nos dice que el seno del ángulo que buscamos es el doble de su coseno.

resolvemos esta ecuación trigonométrica elevando ambos miembros al cuadrado y aplicando la identidad sen²α+cos²α=1. y obtenemos que el ángulo buscado es 64,43º. verdad que era tentador creer que el ángulo para que x máxima fuera el doble de y máxima era 45º? pues ya vemos que no. con 45º habría quedado una parábola más achatada. se puede comprobar que en ese caso x máxima sería el cuádruple de y máxima.

llama la atención que la relación entre altura máxima y distancia horizontal máxima dependa sólo del ángulo con el que se lanza el objeto, y no de la velocidad inicial ni la gravedad. eso significa que se cumpliría igual en otro lugar donde la aceleración de la gravedad tuviera un valor diferente, como en la luna. allí, por cierto, la baja gravedad hace que los astronautas puedan dar grandes saltos. tintín, el capitán haddock y el profesor tornasol se adelantaron a su tiempo. ^_^