giros

últimamente he estado viendo con mi alumna de 1º de bachillerato el movimiento circular en física. la aceleración centrípeta, que hace que la velocidad cambie de dirección en cada instante y el cuerpo siga girando alrededor del centro de la circunferencia, es igual al producto de la velocidad angular al cuadrado por el radio: ω²·R.

se trata de una de esas expresiones que no se pueden demostrar empleando conocimientos de bachillerato, por lo que los alumnos no tienen más remedio que creérselas. para deducir esa fórmula de la aceleración centrípeta hay que utilizar nada menos que las coordenadas polares, que yo las di en física de 1º de carrera.

dado un cuerpo que sigue una trayectoria curva, se define r como la distancia de dicho cuerpo a un origen de coordenadas en un instante dado, y φ como el ángulo que forma r con un eje que se toma como referencia, normalmente el horizontal. por otro lado, se definen dos vectores unitarios perpendiculares entre sí para cada punto de la trayectoria: u_r en la dirección del radio r, y u_φ según la variación del ángulo φ.

u_r y u_φ son dos vectores ‘dinámicos’, en el sentido de que van cambiando de posición en cada instante del movimiento. u_r se desplazará en el sentido del ángulo φ -antihorario en la figura-, y u_φ también seguirá al ángulo φ al ser ambos vectores solidarios entre sí, y se desplazará hacia el centro de giro, ‘hacia dentro’ de r como si dijéramos.

el vector de posición del movimiento es igual al radio r por el vector u_r. para obtener la velocidad, derivaremos el vector de posición respecto al tiempo, teniendo en cuanta que hay que derivarlo como un producto (derivada del primer factor por el segundo sin derivar, más derivada del segundo por el primero sin derivar). a las derivadas de r y φ las denotaremos como dichas letras con un punto encima.

el vector velocidad que hemos hallado tiene dos componentes, en u_r y u_φ. la primera representa la variación de la distancia r, y la segunda el ángulo girado. a continuación, vamos a derivar para obtener la aceleración, lo cual será más laborioso esta vez, pues tenemos que derivar dos productos, y uno de ellos con tres factores. denotaremos a las segundas derivadas de r y φ como sus correspondientes letras con dos puntos encima.

hemos obtenido una expresión de la aceleración que, de manera similar a la velocidad, tiene componentes en u_r y u_φ-radial y angular, respectivamente-. esta aceleración representa el caso más general posible, vale para cualquier combinación de movimiento rectilíneo y movimiento circular.

en el movimiento circular uniforme, el radio r será constante -lo llamaremos R mayúscula-, y por tanto sus derivadas serán nulas. por otro lado, el ángulo φ variará de manera uniforme, siendo su primera derivada igual a la velocidad angular ω, y su segunda derivada nula. esto simplifica mucho las cosas ya que, como se ve, muchos términos desaparecen, y la única componente que nos queda es la aceleración centrípeta: -ω²·R·u_r. lleva la dirección del radio, y el signo negativo se debe a que se dirige hacia el centro de la circunferencia.

en la aventura ‘el cacao espacial’ de mortadelo y filemón, un instructor les prepara para el viaje en cohete que van a realizar. como se puede imaginar, le vuelven loco al hombre. al poner el sillón giratorio a la máxima velocidad, la aceleración centrípeta es en consecuencia muy elevada. la física sobre el papel es muy interesante, pero cuidado con los experimentos prácticos. :O