plastilina

ayer, haciendo problemas de geometría del espacio con una estupenda alumna de 2º de bachillerato, nos preguntábamos por qué el volumen del tetraedro definido por tres vectores no coplanarios es igual a la sexta parte del paralelepípedo limitado por esos vectores y los vectores deslizantes paralelos correspondientes... en el dibujo se entenderá mejor.

vamos a tratar de comprobarlo para un caso sencillo, como es el de un cubo. si lo cortamos con un plano que pase por tres diagonales de sus caras, obtenemos una pirámide cuya base es un triángulo equilátero -de lado la diagonal de la cara del cubo- y cuyas caras laterales son triángulos rectángulos isósceles -de catetos iguales a la arista del cubo-.

el volumen de una pirámide es el producto del área de la base por la altura -perpendicular a la base desde el vértice superior de la pirámide-. empezaremos calculando el área de la base, que como hemos dicho es un triángulo equilátero. si a la arista del cubo la llamamos a, la diagonal de la cara será a·√2. por otro lado, la altura de un triángulo equilátero se puede demostrar fácilmente que es igual a su lado multiplicado por √3/2. haciendo los cálculos para nuestro caso, obtenemos que el área de la base es a²·√3/2.

hay dos distancias que vamos a necesitar para calcular la altura de la pirámide. una es la altura de la cara lateral. al tratarse de un triángulo rectángulo isósceles, se comprueba fácilmente que es igual a la mitad de la hipotenusa, y por tanto en nuestro caso igual a la mitad de la diagonal de la cara del cubo: a·√2/2.

la otra distancia que necesitamos es la apotema de la base. en el caso de un triángulo equilátero, la verdad es que no me la sabía porque no es algo que se use mucho, pero se puede deducir utilizando razones trigonométicas. para nuestro caso será a·√6/6.

ahora viene el paso más difícil. vamos a hacer una sección de la pirámide, con un plano que contenga a una de sus aristas y a la altura de una de sus caras laterales. si nos damos cuenta, hay un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la altura de la cara (a·√2/2), y cuyos catetos son la apotema de la base (a·√6/6) y la altura de la pirámide que queremos calcular. aplicamos el teorema de pitágoras y obtenemos que la altura de la pirámide es a/√3.

ya sólo nos falta sustituir los valores del área de la base y de la altura en la fórmula del volumen de la pirámide. y tal como estaba previsto, es igual a a³/6. es decir, la sexta parte del volumen del cubo.

he comprado plastilina -que no la usaba desde egb- para moldear un cubo y cortarle una porción de forma piramidal de la manera que hemos explicado, y así poder visualizar este problema en tres dimensiones. porque por muchos gráficos que hagas sobre el papel, siempre hay algo que se te escapa...

esta tableta de plastilina, en su estado original medía 13 cm de longitud, 5 cm de anchura y 2 cm de grosor. es decir, su volumen es de 130 cm³. con ella se puede formar un cubo cuya arista sería ³√130 = 5,066. aproximadamente 5 cm. el cubo me ha salido un poco amorfo, y eso que he usado un libro para alisarle las caras. pero cuando lo he seccionado, ya sí que me ha quedado un engendro. me abstengo de poner fotos del resultado...

pero bueno, me ha servido como excusa para ir a la papelería que tengo al lado de casa. una de las chicas que hay allí es amiguita mía. ^_^ alguna sugerencia de cosas que se puedan hacer con plastilina amarilla?