estadística (2)

en realidad no vamos a hablar de campanas para llamar a comer. vamos a hablar de otro tipo de campana, la campana de gauss.

en una distribución normal, la mayoría de los datos se encuentran en torno a la media, y sólo unos pocos en los extremos. así suele suceder en todos los ámbitos de la vida. por ejemplo, en cuanto a la estatura, hay una gran mayoría de personas medianas, una minoría de personas altas como michael jordan, y otra minoría de personas bajas como danny de vito.

la expresión de la curva de gauss es una exponencial negativa de segundo grado. hay una versión simplificada, en la cual se realiza un cambio de variable para que la media μ sea 0 y la desviación típica σ sea 1.

la probabilidad de que la variable x se encuentre por debajo de cierto valor x₀, es igual al área bajo la curva desde -∞ (menos infinito) hasta x₀. y para calcular áreas, hay que integrar.

el problema es que la función de distribución normal no se puede integrar mediante métodos algebraicos, por lo que hay que recurrir a los desarrollos en serie. conociendo el desarrollo de e^x, para obtener el desarrollo de e^-x2/2, simplemente sustituiremos la x por -x²/2.

a continuación, integraremos esa expresión entre 0 y x₀. hemos omitido el factor 1/√(2·π) para no estar arrastrándolo todo el rato, pero una vez que hemos hecho los cálculos en los que no influía, lo volvemos a poner.

si tenéis un examen de estadística y se os ha olvidado la tabla de la distribución normal, con este desarrollo se consigue una aproximación incluso más precisa que con la tabla. además, no hay que tomar demasiados términos, ya que sólo los cinco o seis primeros influyen. enseguida se hacen despreciables, porque el denominador crece muy rápidamente.

pero, pensándolo bien, mejor que no se os olvide llevar la tabla. en los exámenes, experimentos los mínimos. :P

para terminar, os muestro esta viñeta en la que rompetechos confunde un sombrero con una campana, que por su forma bien podría ser la de gauss.

y siguiendo con las campanas, llevo muy mal que ya no exista el chocolate la campana de elgorriaga. hace unos años, allá por 2010-11, lo volvieron a sacar, y aunque no sabía igual que el de la generación egb, al menos tenía el mismo nombre y el mismo logo. ahora ni eso, ya no lo encuentro en el súper.