discutir

hay un ejercicio muy típico de matemáticas de 2º de bachillerato -lo que antes era cou-, que se formula de esta manera: “discutir el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro”. se trata de analizar la compatibilidad del sistema -compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible- para los valores que tomen los coeficientes del mismo.

aunque a mí, eso de ‘discutir’ siempre me ha sonado a riña o disputa. nunca imaginé que las matemáticas pudieran ser tan conflictivas. :O

quería hacer uno de esos ejercicios como ejemplo. y de dónde mejor podría sacarlo que de mi propio examen de selectividad? lo tenía guardado en un cajón. la fecha escrita a boli la puso mi padre, que siempre ha sido muy metódico para esas cosas. yo hice el repertorio B, lo deduzco porque es en el que hay anotaciones mías. pero el ejercicio que os quiero mostrar hoy está en el repertorio A, y es el primero.

aquí lo tenéis ampliado.

en primer lugar, expresamos el sistema en forma matricial. si la matriz A es de rango 3, el sistema será compatible determinado. si es de rango menor que 3, pues habrá que estudiar cada caso. los valores que hacen nulo el determinante de A son 1 y -2. eso quiere decir que para todo a distinto de 1 y de -2 el rango de la matriz A será 3, y por tanto el sistema será compatible determinado.

para a igual a 1, observamos que la matriz A es de rango 1, ya que todas sus filas o columnas son iguales -con que fueran proporcionales ya sería de rango 1-. y la matriz ampliada A* seguirá siendo de rango 1, ya que la columna adicional es igual que todas las demás. por tanto, como el rango de A* es igual que el rango de A, y éste es menor que 3 -número de incógnitas-, el sistema será compatible indeterminado.

para a igual a -2, la matriz A será de rango 2. se puede encontrar fácilmente cualquier submatriz de 2*2 cuyo determinante sea distinto de 0. veamos para la matriz ampliada A*: nos preguntamos si su rango será 2 ó 3. para ello tomamos una submatriz de 3*3 que incluya a la columna adicional, y calculamos su determinante. si éste es distinto de 0, como así ocurre, querrá decir que la matriz A* tiene rango 3. y al ser el rango de A* mayor que el de A, el sistema será incompatible.

pues esto es lo que os quería contar hoy. que paséis un buen finde y no discutáis mucho con vuestras personas cercanas. ;) discutid un poco si hace falta, porque no es bueno que las cosas se queden dentro, pero sin pasaros. ^_^