infinito

hay una curva matemática denominada lemniscata, que tiene la forma del símbolo de infinito (∞). se define como el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de distancias a dos puntos dados llamados focos es constante. es similar a la elipse, sólo que en ésta lo que es constante es la suma de distancias a los focos.

al igual que se hacía en el caso de la elipse, consideramos que los focos se encuentran sobre el eje x, a sendas distancias c del origen de coordenadas. hallamos las expresiones de las distancias desde un punto genérico hasta cada uno de los focos. el producto de esas distancias deberá ser igual a una constante. pero cuál será esa constante? si el origen de coordenadas forma parte de la curva que nos ocupa, el producto de distancias a los focos será c². por tanto, el producto de las distancias de cualquier punto a los focos será también c², puesto que siempre tiene el mismo valor.

elevamos al cuadrado en ambos miembros de nuestra igualdad, desarrollamos el producto de expresiones polinómicas y tachamos términos que se anulan entre sí. observamos que hay una identidad notable encubierta y sacamos factor común en algunos términos, lo que nos permitirá obtener una expresión más compacta, como es (x²+y²)² = 2c²·(x²–y²).

si queremos expresar nuestra ecuación en función de a -que por continuar las analogías con la elipse, es igual la distancia del origen a los puntos de corte de la curva con el eje x-, haremos lo siguiente. hallamos las distancias desde uno de los vértices de la lemniscata hasta cada uno de los focos. el producto de esas distancias dará a²–c², y deberá ser igual a c², que era nuestra constante. por tanto, a²=2c², y nuestra curva se podrá expresar así: (x²+y²)²= a²·(x²–y²).

la lemniscata -o el símbolo de infinito- tiene una forma similar a un 8 caligráfico girado en ángulo recto. y también me recuerda a un antifaz, como el que llevaba esther para un baile de máscaras. por cierto, carnaval se acerca!

el amor puede llegar a ser infinito? sigo sintiéndome romántico... ^_^