octaedro

el octaedro es un poliedro regular formado por ocho caras triangulares. de los cinco posibles poliedros regulares, es posiblemente mi favorito. no es ni tan simple como la pirámide y el cubo, ni tan complejo como el dodecaedro y el icosaedro.

he dibujado un octaedro con una perspectiva que quizá no era la mejor. casi me han salido más logrados los que he dibujado a mano alzada para ilustrar los cálculos que veréis en breve...

el área exterior de un octaedro se calcularía de la siguiente manera. sus caras son 8 triángulos equiláteros cuyo lado es la arista, a la que llamamos a. el área de un triángulo es la mitad del producto de su base por su altura. la altura h la hallamos por pitágoras: será el cateto menor de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es a y cuyo cateto menor es a/2.

el área de la cara triangular será (√3/4)·a². por tanto, el área total será esa expresión multiplicada por las 8 caras del octaedro: 2·√3·a².

para calcular el volumen, hay que tener en cuenta que un octaedro son dos pirámides de base cuadrada yuxtapuestas. el volumen de una pirámide es un tercio del producto del área de su base por su altura. pero cuidado, en este caso hablamos de la altura de la pirámide, que no es lo mismo que la altura de sus caras triangulares. para diferenciarla, la vamos a llamar Hmayúscula.

la altura de la pirámide la calcularemos usando de nuevo el teorema de pitágoras. H será el cateto mayor de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es (√3·2)·a -la altura h minúscula de la cara triangular que hemos calculado antes-, y cuyo cateto menor es a/2.

el volumen de la pirámide será (√2/6)·a³, y ya sólo nos queda multiplicar por 2. por tanto, el volumen del octaedro será (√2/3)·a³.

para darle a esta entrada un toque más artístico, más de manualidades, se me ocurrió que podría construir un octaedro en cartulina. para ello, primero hay que trazar su desarrollo plano.

después se recorta y se dobla por las líneas rectas que marcan las aristas. a continuación, se pone pegamento sobre las solapas que sirven para unir dos caras contiguas... y si lo hacéis, veréis qué fácilmente encajan unas con otras. si hasta a mí me ha salido, es que es fácil. ;)

por último, os dejo con un breve vídeo que grabé anoche, tan contento como estaba yo con mi octaedro de color rosa. ^_^