copas

para llenar una copa cónica a la mitad de su volumen, la altura que debe alcanzar el líquido debe ser mayor que la mitad de la altura de la copa. y es que una copa con esa forma se va estrechando hacia abajo, por lo que el volumen de líquido no es proporcional a la altura del mismo.

el volumen de un cono es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura. la base del cono es un círculo. en nuestro problema tenemos dos conos, uno grande -la parte ‘útil’ de nuestra copa- y otro pequeño -el líquido que contiene-.

nos interesará expresar el radio en función de la altura, y para eso relacionamos ambos a través de la tangente de α, el ángulo que forman la altura y la generatriz. esto vale tanto para el cono grande como para el cono pequeño, ya que son semejantes, sus dimensiones son proporcionales.

para hallar la relación entre volúmenes, dividimos el volumen pequeño entre el volumen grande. operando y simplificando, obtenemos la expresión (h/H)³, es decir, la relación entre las alturas elevada al cubo.

nuestra condición era que la copa debía estar llena hasta la mitad del volumen. eso quiere decir que el cociente del volumen pequeño entre el volumen grande debe ser igual a 1/2. por tanto, igualamos (h/H)³a 1/2, y despejando obtenemos que la altura h minúscula del líquido deberá ser el 79,37% de la altura H mayúscula de la copa. casi el 80%.

este curso he explicado a los alumn@s muchos problemas de figuras tridimensionales. este problema les vendría un poco grande, y además si aún no han dado trigonometría no les podría hablar de tangentes. como mucho de relaciones de semejanza...

hablando de copas, aquí vemos a tintín y sus compañeros brindando por el éxito de su inminente misión lunar. precisamente hace poco se cumplió el cincuenta aniversario del apollo 11. tintín, milú, haddock y tornasol se adelantaron aproximadamente quince años a su tiempo, ya que los álbumes objetivo la luna / aterrizaje en la luna se publicaron allá por 1953-54.

julio se nos acaba… espero que lo estéis pasando bien este verano, leyendo o haciendo lo que más os guste. :)