particiones

imagina esta situación: tienes guardada en la nevera una tarta de forma circular. decides comerte la mitad para merendar, así que la partes al medio, y la otra mitad la guardas para otro momento.

pero entonces piensas que sólo con la mitad te vas a quedar con hambre, así que añades un tercio. ahora, al ver la mitad y el tercio juntos te parece demasiado, así que le quitas un cuarto. tras lo cual, crees que de nuevo te quedas corto, y entonces pones un quinto más...

de manera más esquemática, el proceso sería así:

• al principio tengo la tarta entera, una unidad (1)
• le quito la mitad (-1/2)
• es poco, le añado un tercio (+1/3)
• ahora es mucho, le quito un cuarto (-1/4)
• ahora es poco otra vez, le añado un quinto (+1/5)
• otra vez me he pasado, le quito un sexto (-1/6)
• ...

nos preguntamos si este proceso se estabilizará al prolongarlo hasta el infinito -aunque para entonces la tarta ya se habrá estropeado y no se podrá comer-.

y así es, la serie alterna 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - ... converge a un valor, que es ln(2) (el logaritmo neperiano de 2), cuyo valor es 0.6931471805...

para demostrarlo, desarrollaremos en serie la función ln(x+1). no lo hacemos con ln(x), ya que se hace infinita (con signo negativo, pero infinita al fin y al cabo) en torno a x=0. una vez que hemos calculado el desarrollo para ln(x+1), le damos el valor x=1.

ln(1+1) es ln(2), y la serie que obtenemos es la mencionada serie alterna,

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - ...

eso quiere decir que en el proceso de partir la tarta por la mitad, añadirle un tercio, quitarle un cuarto, añadirle un quinto... al final obtendremos una fracción de tarta expresada en número decimal como 0.6931471805... que es el logaritmo neperiano de 2. es decir, aproximadamente un 69,31% de tarta. algo menos de 7/10.

aquí vemos al pitufo con una tarta que ha hecho aparecer de la nada gracias al huevo mágico que concede cualquier deseo. parece que se dispone a zampársela entera. me da a mí que no va a hacer particiones, no.