tiempo de vuelo?

en física de 3º de bup, un día el profesor puso un examen que sorprendió a todo el mundo. consistía en un solo ejercicio, de tiro parabólico, en el que se pedían algunas cosas típicas (altura máxima alcanzada, distancia horizontal máxima recorrida...) y otras cosas más raras que enseguida comentaré.

pero lo más peculiar era que no daba ningún dato numérico, sino que teníamos que expresar los resultados como expresiones algebraicas, en función de las variables: coordenadas x,y, velocidad v, tiempo t, ángulo α... lo cual es algo muy habitual en asignaturas de ingeniería, pero no en un curso del nivel de 3º de bup, o 1º de bachillerato que es su equivalente actual.

vamos a analizar un problema de tiro parabólico ‘genérico’, sin asignar ninguna cifra a las variables, similar al que nos pusieron aquel día. la única aceleración que interviene es la gravedad -vertical hacia abajo-, y la velocidad inicial es v formando un ángulo α con la horizontal. la altura inicial es nula, es decir, el ‘proyectil’ inicia su trayectoria a ras de suelo -lo cual no es muy realista, pero simplifica los cálculos-.

empezaremos calculando la altura máxima. ésta se alcanza cuando la componente vertical de la velocidad se hace cero. no olvidemos que el tiro parabólico es una combinación de dos movimientos: en horizontal, un movimiento rectilíneo uniforme; y en vertical, un movimiento de caída libre. la velocidad vertical desciende hasta llegar al punto más alto, y a partir de ahí el cuerpo empieza a caer.

el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima viene dado por la expresión v·sen(α)/g. lo sustituimos en la ecuación de la coordenada vertical y, con lo que obtenemos que la altura máxima es v²·sen²(α)/2·g.

la parábola que describe el objeto lanzado es simétrica, ya que la altura inicial es cero y asumimos que no hay rozamiento del aire. la trayectoria se divide en dos mitades: del punto inicial a la altura máxima, y de la altura máxima al punto final. por ello, podemos deducir que el tiempo que tarda en caer al suelo será el doble del tiempo en alcanzar la altura máxima, es decir, 2·v·sen(α)/g.

dicho tiempo, que se pedía calcular en el examen, el profesor lo llamó “tiempo de vuelo”. cuando leí el enunciado me imaginaba a qué se refería, pero esa expresión no la había visto en mi vida en ese contexto, y nunca la volví a ver/oír en ninguna asignatura de la carrera. se habla del “tiempo de vuelo” para un viaje en avión, no para un pedrusco que lanzas por los aires.

en fin, volviendo a nuestro ejercicio, esa expresión del tiempo la sustituimos en la ecuación de la coordenada horizontal x, y de ahí obtenemos la distancia horizontal recorrida: v²·sen(2·α)/g.

por último, recuerdo que se pedía el ‘radio de curvatura’ de la parábola, que fue lo que más loco me dejó al leer el enunciado. supongo que sería en la altura máxima, en la cual la velocidad es perpendicular a la aceleración: la primera sólo tiene componente horizontal, y la segunda es vertical descendente. en cualquier otro punto, calcular el radio de curvatura sería un auténtico follón.

en el punto de altura máxima, la gravedad hace el papel de aceleración normal. ésta es igual al cuadrado de la velocidad en ese punto entre el radio de curvatura. de ahí despejamos el radio, igual a v²·cos²(α)/g.

en el mundo del deporte, encontramos abundantes ejemplos de este tipo de movimiento. en la viñeta que hay al principio de esta entrada, vemos a esther y a rita jugando al tenis, y se observa claramente la trayectoria que sigue la pelota. por otro lado, el lanzamiento de jabalina que se le da tan bien a este pitufo, en el fondo también es un tiro parabólico.