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hace un par de años, tuve que explicar por primera vez los problemas de programación lineal, a una alumna de 2º de bachillerato. para ello me inventé sobre la marcha un problema muy dulce, que tal vez os dé hambre. :D

obviamente no recuerdo qué datos di ni qué condiciones puse, pero era sobre una panadería que fabricaba, entre otros productos, bollos suizosy croissants. para el problema que voy a resolver en esta entrada, supongamos que el precio del bollo es de 1,20 euros, y el del croissantde 1,50 euros.

luego puse algunas restricciones relacionadas con el número de piezas horneadas y con los ingredientes. para este caso, pongamos que el número total de bollos y croissants no debe exceder de 150. y por poner otra restricción sencilla, digamos que disponemos de 2 kilos (2000gramos) de mantequilla, y que cada bollo necesita 10gramos de mantequilla, mientras que cada croissant necesita 20gramos.

traduciendo toda esa información a lenguaje matemático, así es como expresaríamos la función objetivo -ingresos por la venta de bollos y croissants- y las restricciones que hemos explicado.

a continuación, representamos en una gráfica las rectas que marcan el límite de las restricciones. dado que son del tipo “menor o igual”, nos interesará la zona por debajo de cada recta. sombrearemos ambas zonas, que tendrán un área común, aquella que hemos sombreado doblemente, por decirlo así. en esa área se encontrarán las posibles soluciones. hallaremos también el punto de intersección de las dos rectas, ya que lo vamos a necesitar.

la solución óptima se encontrará en alguno de los vértices de ese cuadrilátero irregular extraño que representa la zona de soluciones factibles. cada vértice corresponde a un número de productos de ambos tipos, en este caso bollos y croissants. los sustituiremos en la función objetivo, y la solución óptima será aquella que nos dé unos ingresos máximos.

evidentemente, el origen de coordenadas no lo tenemos en cuenta, pues supondría no fabricar nada de ninguno de los dos productos. el punto A se encuentra sobre el eje x, y por tanto significa que fabricaríamos sólo bollos y ningún croissant. análogamente, el punto Bestá en el eje y, lo que quiere decir que fabricaríamos sólo croissants y ningún bollo. en este caso, sólo el punto Ccorresponde a una situación de fabricar cierta cantidad de ambos.

y como era de esperar, en C se encuentra el óptimo. vendiendo 100 bollos suizos y 50 croissants, obtenemos unos ingresos de 195 euros.

en los puntos situados sobre los ejes no suele encontrarse el óptimo, aunque lo comprobemos para descartarlos. eso demuestra que en la vida es necesario el equilibrio, y que no es bueno irse a los extremos. ;)

como vemos, al pitufo panadero le ha ido bien con este modelo de producción.