espacios

cuando estaba en cou, recuerdo que un día estaba hablando con un vecino mío un año mayor que yo, que estudiaba 1º de teleco, y le dije algo así como “a ti te gustarán mucho las matemáticas, supongo”. y él me respondió irónicamente: “desde que di los espacios vectoriales, no”. su queja no era tanto por la dificultad de ese tema, sino por su supuesta falta de utilidad práctica.

a pesar de la mala fama de los espacios vectoriales -conozco a más gente a la que no le gustan-, cuando yo los estudié en álgebra de 1º de industriales me parecieron muy interesantes. eso sí, a día de hoy me acuerdo de muy poco, porque es un tema en el que no se ahondó en otras asignaturas posteriores.

recuerdo los conceptos más básicos. por ejemplo, una recta es un espacio de dimensión 1, un plano es un espacio de dimensión 2, y el espacio completo es de dimensión 3. luego puede haber espacios de dimensión mayor que 3, pero son imposibles de imaginar para la mente humana.

los espacios vectoriales se pueden aplicar a los sistemas de ecuaciones. veamos unos ejemplos que he inventado sobre la marcha, con sistemas cuyos términos independientes son nulos, para simplificar el problema.

en un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, compatible determinado, el rango de la matriz del sistema es 3. sólo existirá una solución, que se podrá representar geométricamente como un punto del espacio. por tanto, el número de grados de libertad será 0.

si el sistema es compatible indeterminado, el rango de la matriz será menor que 3. en el caso de que el rango sea 2, habrá 1 grado de libertad. esto quiere decir que el conjunto de soluciones se podrá generar a partir de un solo vector, multiplicándolo por el coeficiente que se desee. por tanto, las soluciones se podrán representar mediante una recta.

y si el rango de la matriz del sistema es 1, habrá 2 grados de libertad. el conjunto de soluciones vendrá generado por todas las posibles combinaciones lineales de dos vectores. se obtendrán soluciones del sistema multiplicando cada uno de ellos por el coeficiente que se desee, y sumándolos o restándolos. geométricamente, dichas soluciones formarán un plano.

en el caso un poco tonto de que la matriz del sistema tenga rango 0 -lo cual significa que todos sus coeficientes son nulos-, habrá 3 grados de libertad. cualquier terna de valores de {x,y,z} será solución del sistema. por tanto, las soluciones llenan por completo el espacio tridimensional.

el espacio exterior que contiene a todos los astros, es inmenso y multidimensional. viendo nuestra tierra desde el espacio, nos damos cuenta de que los seres humanos que la habitamos somos muy pequeños...